《算法竞赛进阶指南》打卡-基本算法-AcWing 97. 约数之和：递归、快速幂

2024-05-24 05:01:35

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分析：
快速幂参考笔者的这篇博文：
算法刷题-数论-组合数、快速幂、逆元、递推求组合数、逆元求组合数

约数之和参考笔者的这篇博文：
算法刷题-数论-试除法求约数、约数个数、约数之和、最大公约数（辗转相除法）

假设N分解质因数的结果是:
N=p1a1×p2a2×...×pkakN={p_1}^{a_1}\times{p_2}^{a_2}\times...\times{p_k}^{a_k}N=p1a1×p2a2×...×pkak

则这个数N的约数之和等于
(p10+p11+p12+...+p1a1)×(p20+p21+p22+...+p2a2)×...×(pk0+pk1+pk2+...+pkak)(p_{1}^{0}+p_{1}^{1}+p_{1}^{2}+...+p_{1}^{a_{1}})\times(p_{2}^{0}+p_{2}^{1}+p_{2}^{2}+...+p_{2}^{a_{2}})\times...\times(p_{k}^{0}+p_{k}^{1}+p_{k}^{2}+...+p_{k}^{a_{k}})(p10+p11+p12+...+p1a1)×(p20+p21+p22+...+p2a2)×...×(pk0+pk1+pk2+...+pkak)
以上称为“约数和定理”，在小学奥数中有应用。

下面的sum(p,k)就是用来等比数列求和。答案就是所有的相乘。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 9901;
// 快速幂求a ^k % mod
int qmi(int a, int k){a %= mod;int res = 1;while(k){if( k & 1)  res = res * a % mod;a = a * a % mod;k >>= 1;}return res;
}
// 求 p^0 + p^1 + ... + p ^k 等比数列求和
int sum(int p, int k){if( k == 0) return 1;// k 是偶数，则0到k是k+1个数，奇数个数if( k % 2 == 0) return ((long long)p * sum(p, k-1)  + 1) % mod;//偶数个数的处理return (1 + qmi(p, k/2 + 1)) * sum(p, k/2) % mod;}int main(){int A, B;cin >> A >> B;int res = 1;// 求出A的每个约数的个数sfor(int i = 2; i <= A; i ++){int s = 0; // s是约数个数while( A % i == 0){s ++;A /= i;}if(s) res = res * sum(i, s * B) % mod;}if(!A) res = 0;cout << res << endl;
}

题目来源

https://www.acwing.com/problem/content/99/

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