一、题目链接

AcWing 122. 糖果传递
进阶题目 AcWing 105. 七夕祭

二、题目分析

（一）算法标签

贪心排序中位数推公式

（二）解题思路

设 x i x_i xi为i号小朋友(初始有 a i a_i ai个糖果)向i-1号小朋友传递的糖果数(其中，i=2,3,4,…,n, 若 x i x_i xi为负数，则表示i-1号小朋友向i号小朋友传递的糖果数)，特别地当i=1时， x 1 x_1 x1表示1号小朋友向n号小朋友传递的糖果数

目标： ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ∣ x 3 ∣ + ⋯ + ∣ x n − 1 ∣ + ∣ x n ∣ \vert x_1 \vert + \vert x_2\vert+\vert x_3 \vert+ \dots +\vert x_{n-1} \vert+\vert x_n \vert ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣+⋯+∣xn−1∣+∣xn∣最小
由题意，可得：
{ x 1 = x 2 + a 1 − a ˉ x 2 = x 3 + a 2 − a ˉ ⋯ x n − 1 = x n + a n − 1 − a ˉ x n = x 1 + a n − a ˉ \begin{cases} x_1=x_2+a_1-\bar a \\ x_2=x_3+a_2-\bar a \\ \cdots \\ x_{n-1}=x_n+a_{n-1}-\bar a \\ x_n=x_1+a_n-\bar a \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1=x2+a1−aˉx2=x3+a2−aˉ⋯xn−1=xn+an−1−aˉxn=x1+an−aˉ

n个方程相加得到一个恒等式： 0 = a 1 + a 2 + ⋯ + a n − n a ˉ 0=a_1+a_2+\cdots+a_n-n\bar a 0=a1+a2+⋯+an−naˉ，所以上面的方程组有n-1个有效方程，n个未知元，那么可以用其中一个未知元来表示其它n-1个未知元

对上述方程组作一下变换，可以得到：
{ x 1 = x 1 − 0 x 2 = x 3 − [ ( n − 1 ) a ˉ − a n − a n − 1 − ⋯ − a 2 ] ⋯ x n − 1 = x 1 − ( 2 a ˉ − a n − a n − 1 ) x n = x 1 − ( a ˉ − a n ) \begin{cases} x_1=x_1-0 \\ x_2=x_3-[(n-1)\bar a - a_n-a_{n-1}-\cdots-a_2]\\ \cdots \\ x_{n-1}=x_1-(2\bar a-a_n-a_{n-1}) \\ x_n=x_1-(\bar a - a_n) \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1=x1−0x2=x3−[(n−1)aˉ−an−an−1−⋯−a2]⋯xn−1=x1−(2aˉ−an−an−1)xn=x1−(aˉ−an)
等价于下面方程组：
{ x 1 = x 1 − c 1 x 2 = x 3 − c 2 ⋯ x n − 1 = x 1 − ( 2 a ˉ − a n − a n − 1 ) x n = x 1 − ( a ˉ − a n ) \begin{cases} x_1=x_1-c_1 \\ x_2=x_3-c_2\\ \cdots \\ x_{n-1}=x_1-(2\bar a-a_n-a_{n-1}) \\ x_n=x_1-(\bar a - a_n) \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1=x1−c1x2=x3−c2⋯xn−1=x1−(2aˉ−an−an−1)xn=x1−(aˉ−an)

其中，
{ c 1 = 0 c 2 = ( n − 1 ) a ˉ − a n − a n − 1 − ⋯ − a 2 ⋯ c n − 1 = 2 a ˉ − a n − a n − 1 c n = a ˉ − a n \begin{cases} c_1=0 \\ c_2=(n-1)\bar a - a_n-a_{n-1}-\cdots-a_2 \\ \cdots \\ c_{n-1}=2\bar a-a_n-a_{n-1}\\ c_n=\bar a - a_n\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧c1=0c2=(n−1)aˉ−an−an−1−⋯−a2⋯cn−1=2aˉ−an−an−1cn=aˉ−an
可以发现当 i > 1 i>1 i>1时 c i = c i + 1 + a ˉ − a i c_i=c_{i+1}+\bar a -a_i ci=ci+1+aˉ−ai
回到目标：
此时，
∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ∣ x 3 ∣ + ⋯ + ∣ x n − 1 ∣ + ∣ x n ∣ \vert x_1 \vert + \vert x_2\vert+\vert x_3 \vert+ \dots +\vert x_{n-1} \vert+\vert x_n \vert ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣+⋯+∣xn−1∣+∣xn∣最小
等价于 ∣ x 1 − c 1 ∣ + ∣ x 1 − c 2 ∣ + ∣ x 1 − c 3 ∣ + ⋯ + ∣ x 1 − c n − 1 ∣ + ∣ x 1 − c n ∣ \vert x_1-c_1 \vert + \vert x_1-c_2\vert+\vert x_1-c_3 \vert+ \dots +\vert x_1-c_{n-1} \vert+\vert x_1-c_n \vert ∣x1−c1∣+∣x1−c2∣+∣x1−c3∣+⋯+∣x1−cn−1∣+∣x1−cn∣最小 (其中 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,⋯,cn 均为常数)
当 x 1 x_1 x1取 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,⋯,cn的中位数即可使上述式子的值最小
此时，问题转换成了AcWing 104. 货仓选址【贪心】【《算法竞赛进阶指南》】

三、AC代码

解法一:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e6 + 10;int a[N], c[N];
int n;int main()
{cin >> n;LL sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){scanf("%d", &a[i]);sum += a[i];}// 每个小朋友最后的糖果数一样，所以平均数一定是整数LL avg = sum / n;// 求c[i]for (int i = n; i > 1; i -- )c[i] = c[i + 1] + avg - a[i];// 找c[i]的中位数sort(c + 1, c + 1 + n);LL mid = c[1 + n >> 1];// 求结果LL res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ )res += abs(c[i] - mid);cout << res << endl;return 0;
}

四、其它题解

AcWing 122. 糖果传递 1

AcWing 122. 糖果传递 2

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