动态规划 dp04 凸n边形的三角形划分 c代码

先看题目：

给定凸n边形P = {1，2，，，n}，每一个顶点i带一个权数r(i)(i = 1,2,,,n)。要求在该凸n边形的顶点间连n-3条互不相交的连线，
把凸N边形分成n-2个三角形，每个三角形的值为其三个顶点权数之积。试确定一种三角形剖分，使得剖分的n-2个三角形的值之和最小。

如下图，凸6边形，顶点序号分别为1-6，顶点的权数未在图中标出。

这道题还是相当有难度的，第一次没做出来，看讲解懂了。第二次做的时候又卡在一个地方......，没理解透彻，就又看了一遍。稍微明白了。常规的动态规划类题目阶段都是很明显，比如说背包问题，每个物品就是一个阶段，但是本题目就不是那么明显了，至少对我来说。不清楚阶段没关系，继续做题，设i,j分别表示途中顶点，m[i][j]表示所划分的最大值，显而易见

m[i][i+2] = i * (i+1) * (i+2); m[i][j] = Max(m[i][k]+m[k][j]+i*j*k)，其中i < k < j; 状态迁移方程是如此简洁，让多次思考没能想出的我有点怀疑智商，多看几遍也还是能够理解的，即便第一次不会，下一次遇到能够会做也行。这样的状态迁移方程和最长非降子数列问题类似。通过求解子问题，遍历得到最大值。边界情况就是m[i][i+1] = 0。利用此方法，上图的最优解是m[1][6]，得到了最优解，需要知道最有子序列的值，这时候从后往前遍历顶点序列，找到最大的m[i][k]，k即是分割点，接着递归遍历[i][k]和[k][j]即可。

此外的一个难点就是，虽然知道了状态迁移方程，但是要注意，求取m[i][j]的时候，需要先求出[i][k]和[k][j]，这一点尤其值得注意，和普通的动态规划不一样，在设置循环的时候应该注意这点。

本题目略微有难度，看不懂的同学需要多多编码调试才行。

下面是c代码实现：

/**  N凸边形划分三角形，求所得所有的三角形顶点之积的最大值*  m[i][j] = MAX(m[i][k] + m[k][j] + a[i]*a[k]*a[j])*/#include <stdio.h>void showEdage(int (*p)[30], int i, int j)
{int k;k = p[i][j];if (j <= i + 1)return;if (k > i + 1)printf("%d - %d ", i, k);if (k < j - 1)   printf("%d - %d ", k, j);showEdage (p, i, k);showEdage (p, k, j);
}void main()
{int i, j, k, d, n, a[30] = {0}, m[30][30] = {0}, c[30][30] = {0};printf("input nTriangle's n:"); scanf("%d", &n);if (n > 30){printf("invalid n\n");return;}for (i = 0; i < n; i++){printf("input %d value:", i+1);scanf("%d", &a[i]);}printf("you input n :%d \nvertex: ",n);for (i = 0; i < n; i++)printf("%d ", a[i]);//边界初始化for (i = 0; i < n - 1; i++)m[i][i+1] = 0;//递推求解for (d = 2; d < n; d++)for (i = 0; i <= n - d - 1; i++){j = i + d;m[i][j] = 10000000;for (k = i + 1; k < j; k++){if (m[i][j] > m[i][k] + m[k][j] + a[i] * a[j] * a[k]){m[i][j] = m[i][k] + m[k][j] + a[i] * a[j] * a[k];c[i][j] = k;}          }       }//打印最优解printf("Min : %d\n", m[0][n-1]);showEdage (c, 0, n-1);
}

参考资料：

1. 数据结构 : C语言版/ 严蔚敏，吴伟民编著

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