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一、线性微分方程

1、一阶线性微分方程

定义

对于形如dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)dxdy​+P(x)y=Q(x)的方程，若Q(x)=0，则为一阶齐次线性微分方程；若Q(x) ≠\ne​= 0，则为一阶非齐次线性微分方程。

求解——常系数变易法

先求出齐次方程dydx+P(x)y=0\frac{dy}{dx}+P(x)y=0dxdy​+P(x)y=0的通解y=Ce−∫P(x)dxy=C e^{- \int P(x)dx}y=Ce−∫P(x)dx再另C = u (x) ,则有y=ue−∫P(x)dxy=u e^{- \int P(x)dx}y=ue−∫P(x)dx,对两边求导，得到dydx=u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx\frac{dy}{dx} = u^{'} e^{- \int P(x)dx} - uP(x)e^{- \int P(x)dx}dxdy​=u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx再带入到原非齐次微分方程中可得u′=Q(x)e∫P(x)dxu^{'} = Q(x)e^{ \int P(x)dx}u′=Q(x)e∫P(x)dx两端积分得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+Cu = \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +Cu=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C故而该非齐次微分方程的通解为y=⟮∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C⟯e−∫P(x)dxy = \lgroup \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +C \rgroup e^{- \int P(x)dx}y=⟮∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C⟯e−∫P(x)dx

2、伯努利方程 ⋆⋆⋆\star\star\star⋆⋆⋆

定义

对于形如dydx+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} (n\ne0,1)dxdy​+P(x)y=Q(x)yn(n​=0,1)的方程，我们称之为伯努利方程。当n=0或1时，这是线性微分方程。

求解

我们可做变换 z=yn−1z = y^{n-1}z=yn−1 ，使得原始变为dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)这就转变成了一个一阶线性微分方程，利用常系数变易法求得通解，最后将 y1−ny^{1-n}y1−n代入到 z 中，可得伯努利方程的通解。

3、可降阶的线性微分方程

（1）yn=f(x)y^{n} = f(x)yn=f(x)型

求解步骤：对两端不断积分，直到左边为 yyy。

（2）y′′=f(x,y′)y^{''} = f(x,y^{'})y′′=f(x,y′)型

求解步骤：设 y′=py^{'}=py′=p,则 y′′=p′y^{''}=p^{'}y′′=p′，原方程变为 p′=f(x,p)p^{'}=f(x,p)p′=f(x,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程，设其通解为p=φ(x,C1)p=\varphi(x,C^{1})p=φ(x,C1)则有dydx=p=φ(x,C1)\frac{dy}{dx}=p=\varphi(x,C^{1})dxdy​=p=φ(x,C1)容易求得原方程的通解为y=∫φ(x,C1)dx+C2y=\int\varphi(x,C^{1})dx +C^{2}y=∫φ(x,C1)dx+C2
例如：求(1+x2)y′′=2xy′(1+x^{2})y^{''}=2xy^{'}(1+x2)y′′=2xy′的通解。
解：设 y′=py^{'}=py′=p,则 y′′=p′y^{''}=p^{'}y′′=p′，原方程变为 (1+x2)p′=2xp(1+x^{2})p^{'}=2xp(1+x2)p′=2xp分离变量得dpp=d(1+x2)1+x2\frac{dp}{p}=\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}pdp​=1+x2d(1+x2)​两端积分得ln∣p∣=ln(1+x2)+C1ln|p|=ln(1+x^{2})+C^{1}ln∣p∣=ln(1+x2)+C1化简得dydx=p=C1(1+x2)\frac{dy}{dx}=p=C^{1}(1+x^{2})dxdy​=p=C1(1+x2)再分离变量，对两端积分得到通解为y=C1x+C2x3+C3y=C^{1}x+C^{2}x^{3}+C^{3}y=C1x+C2x3+C3

（3）y′′=f(y,y′)y^{''}=f(y,y^{'})y′′=f(y,y′)型

求解步骤：设 y′=py^{'}=py′=p,则 y′′=dpdx=dpdydydx=pdpdyy^{''}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}y′′=dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​，原方程变为pdpdy=f(y,p)p\frac{dp}{dy}=f(y,p)pdydp​=f(y,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程，设其通解为y′=p=φ(y,C1)y^{'}=p=\varphi(y,C^{1})y′=p=φ(y,C1)再分离变量，两端积分，可以求得通解为∫1φ(y,C1)dx=x+C2\int\frac{1}{\varphi(y,C^{1})}dx=x+C^{2}∫φ(y,C1)1​dx=x+C2

例如：求yy′′−(y′)2=0yy^{''}-(y^{'})^{2}=0yy′′−(y′)2=0的通解。
解：设 y′=py^{'}=py′=p,则 y′′=dpdx=dpdydydx=pdpdyy^{''}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}y′′=dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​，原方程变为pydpdy−p2=0py\frac{dp}{dy}-p^{2}=0pydydp​−p2=0在p≠0,y≠0p\ne0,y\ne0p​=0,y​=0的情况下分离变量得dpp=dyy\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}pdp​=ydy​两端积分得dydx=p=C1y\frac{dy}{dx}=p=C^{1}ydxdy​=p=C1y
易得方程的通解为y=C2eC1xy=C^{2}e^{C^{1}x}y=C2eC1x

4、高阶微分方程（二阶）

对于二阶齐次线性方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0y′′+P(x)y′+Q(x)y=0若y1,y2y^{1},y^{2}y1,y2是该方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为Y=C1y1+C2y2Y=C^{1}y^{1}+C^{2}y^{2}Y=C1y1+C2y2
对于二阶非齐次线性方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x)y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)若 Y=C1y1+C2y2Y=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2}Y=C1y1​+C2y2​是其对应 的齐次线性方程的通解，那么该非齐次线性方程的通解为y=C1y1+C2y2−y1∫y2fWdx+y2∫y1fWdxy=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2}-y_{1}\int\frac{y_{2}f}{W}dx+y_{2}\int\frac{y_{1}f}{W}dxy=C1y1​+C2y2​−y1​∫Wy2​f​dx+y2​∫Wy1​f​dx或y=v1y1+v2y2y=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}y=v1​y1​+v2​y2​其中W=y1y2′−y1′y2W= y_{1}y^{'}_{2}-y^{'}_{1} y^{2}W=y1​y2′​−y1′​y2v1=C1+∫(−y2fW)dx,v2=∫y1fWdxv_{1}=C_{1}+\int(-\frac{y_{2}f}{W})dx,v_{2}=\int\frac{y_{1}f}{W}dxv1​=C1​+∫(−Wy2​f​)dx,v2​=∫Wy1​f​dx

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二、两大特例

1.可分离变量的微分方程

定义

一般地，如果一个一阶微分方程可以化成P(y)dy=Q(x)dxP(y)dy = Q(x)dxP(y)dy=Q(x)dx那么我们称原方程为可分离变量的微分方程。

求解

对于这种方程，我们一般采取两端同时积分的方法。

例如:求微分方程dydx=2xy\frac{dy}{dx}=2xydxdy​=2xy的通解。
解：分离变量可得dyy=2xdx\frac{dy}{y}=2xdxydy​=2xdx两端同时积分可得ln∣y∣=x2+C1ln|y|=x^{2}+C_{1}ln∣y∣=x2+C1​化简得到通解y=Cex2y=Ce^{x^{2}}y=Cex2

2.齐次微分方程

定义

如果一阶微分方程可以化成dydx=φ(yx)\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})dxdy​=φ(xy​)的形式，那么我们称之为齐次方程。

求解

设u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​，则 y=uxy=uxy=ux,有dydx=u+xdudx=φ(u)\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)dxdy​=u+xdxdu​=φ(u)易得其通解为φ(u)−u=C1x\varphi(u)-u=C_{1}xφ(u)−u=C1​x代入u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​得φ(yx)−yx=C1x\varphi(\frac{y}{x})-\frac{y}{x}=C_{1}xφ(xy​)−xy​=C1​x

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三、常系数线性微分方程

1、常系数齐次线性微分方程

求二阶常系数齐次线性微分方程y′′+py′+qy=0y^{''}+py^{'}+qy=0y′′+py′+qy=0的通解的一般步骤如下：
1）、写出特征方程r2+pr+q=0r^{2}+pr+q=0r2+pr+q=0
2）、求出特征根r1,r2r_{1},r_{2}r1​,r2​
3）、根据特征根写出通解

特征根r1,r2r_{1},r_{2}r1​,r2​	通解
两个不等实根 r1,r2r_{1},r_{2}r1​,r2​	y=C1er1x+C2er2xy=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}y=C1​er1​x+C2​er2​x
重根r1=r2r_{1}=r_{2}r1​=r2​	y=(C1+C2x)er1xy=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}y=(C1​+C2​x)er1​x
一对共轭复根r1，2=α±βir_{1，2}=\alpha\pm\beta ir1，2​=α±βi	y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

\

2、常系数非齐次线性微分方程

f(x)=eλxPm(x)f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)f(x)=eλxPm​(x)型

f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx]f(x)=e^{\lambda x}[P_{l}(x)cos\omega x+Q_{n}(x)sin\omega x]f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]型

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    一阶线性微分方程中的线性什么意思? 答:仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程. yy'-2xy=3 yy'有相乘关系,所以不是线性的. y'-cosy=1老师也说是非线性的,y'的系数也是常数啊: 答 ...

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