一阶线性微分方程

d y d x = P ( x ) y + Q ( x ) \frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x) dxdy=P(x)y+Q(x)

P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P(x),Q(x)连续
若 Q ( x ) = 0 ⇒ Q(x)=0\Rightarrow Q(x)=0⇒一阶齐次线性微分方程 d y d x = P ( x ) y \frac{dy}{dx}=P(x)y dxdy=P(x)y
- 通解： y = c e ∫ P ( x ) d x y=ce^{\int P(x)dx} y=ce∫P(x)dx
Q ( x ) ≠ 0 ⇒ Q(x)\ne0\Rightarrow Q(x)=0⇒非齐次线性微分方程

非齐次通解推导

这个好厉害啊，通过猜想推出来的。。。牛牛牛

根据以上，假设 y = c ( x ) e ∫ P ( x ) d x y=c(x)e^{\int P(x)dx} y=c(x)e∫P(x)dx
求导，反推： d y d x = d c ( x ) d x e ∫ P ( x ) d x + c ( x ) P ( x ) e ∫ P ( x ) d x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} c(x)}{\mathrm{d} x} \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x}+c(x) P(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} dxdy=dxdc(x)e∫P(x)dx+c(x)P(x)e∫P(x)dx 它需要= P ( x ) y + Q ( x ) P(x)y+Q(x) P(x)y+Q(x)于是！！发现了一个不得了的事情 d c ( x ) d x = Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x \frac{\mathrm{d} c(x)}{\mathrm{d} x}=Q(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} dxdc(x)=Q(x)e−∫P(x)dx
所以 y = e ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + c ~ ) y=\mathrm{e}^{\int{P(x) d x}}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{-\int {P(x) d x}} \mathrm{d} x+\tilde{c}\right) y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dxdx+c~)
这种将常数变为待定函数的方法——常数变易法

伯努利微分方程

d y d x = P ( x ) y + Q ( x ) y n ( n ≠ 0 或 1 ) \frac{d y}{d x}=P(x) y+Q(x) y^{n}(n\ne0或1) dxdy=P(x)y+Q(x)yn(n=0或1)

推导

首先把 Q ( x ) Q(x) Q(x)的 y n y^n yn去掉，两边乘上 y − n y^{-n} y−n y − n d y d x = y 1 − n P ( x ) + Q ( x ) (1) y^{-n} \frac{d y}{d x}=y^{1-n} P(x)+Q(x)\tag{1} y−ndxdy=y1−nP(x)+Q(x)(1)
令 z = y 1 − n z=y^{1-n} z=y1−n
d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x} dxdz=(1−n)y−ndxdy代入(1)中，有 d z d x = ( 1 − n ) P ( x ) z + ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}=(1-n) P(x) z+(1-n) Q(x) dxdz=(1−n)P(x)z+(1−n)Q(x)再用以上非齐次的通解就可以得到结果啦！
还要特别注意一点：当 n > 0 n>0 n>0时，方程还有解 y = 0 y=0 y=0不要落掉啦(方程两边乘了 y − n y^{-n} y−n)

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2.2 线性微分方程与常数变易法

文章目录

一阶线性微分方程

非齐次通解推导

伯努利微分方程

推导

2.2 线性微分方程与常数变易法相关推荐

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