行列式（Determinants）

1.行列式（Determinants）
- 1.1 行列式的性质
- 1.2 计算行列式的三种方法
- - 1.2.1 The Pivot Formula
  - 1.2.2 The Big Formula for Determinants
  - 1.2.3 Determinant by Cofactors（余子式）
- 1.3 克莱默法则，逆，面积、体积、叉积、三重积
- - 1.3.1 克莱默法则
  - 1.3.2 使用克莱默法则求逆矩阵
  - 1.3.3 三角形面积
  - 1.3.4 平行六面体体积
  - 1.3.5 叉积
  - 1.3.6 三重积（混合积）

1.行列式（Determinants）

行列式的几何意义详见本人博客：3Blue1Brown系列：行列式

应用1：判断矩阵是否可逆。矩阵不可逆时，行列式等于0。矩阵可逆时，行列式不等于0

应用2：计算基向量组成的面积（二维）、基向量组成的平行六面体的体积（三维）∣detA∣|detA|∣detA∣

应用3：计算特征值 det(A−λI)=0det(A-\lambda I)=0det(A−λI)=0
具体详见本人博客：3Blue1Brown系列：特征向量和特征值

1.1 行列式的性质

性质1：

性质2：

性质3：

性质4：

性质5：

性质6：

性质7：

性质8：

性质9：

性质10：

1.2 计算行列式的三种方法

先给出一个计算低阶行列式的小技巧：

1.2.1 The Pivot Formula

如果矩阵进行了行交换，要注意以下方面：

如果行交换进行了奇数次，则置换矩阵行列式 detP=−1detP=-1detP=−1
如果行交换进行了偶数次，则置换矩阵行列式 detP=1detP=1detP=1
其本质就是基向量翻转了奇数次还是偶数次，偶数次就和原基向量左右相对位置一致，奇数次就和原基向量左右相对位置相反【详见：3Blue1Brown系列：行列式这篇博客中的二阶行列式为负数代表着什么？】

矩阵分解 PA=LUPA=LUPA=LU 后计算行列式

1.2.2 The Big Formula for Determinants

nnn阶矩阵行列式分解后有 n!n!n! 项

1.2.3 Determinant by Cofactors（余子式）

1.3 克莱默法则，逆，面积、体积、叉积、三重积

1.3.1 克莱默法则

克莱默法则的几何解释详见：3Blue1Brown系列：克莱姆法则

Ax⃗=b⃗[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=[b1b2b3]a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x100x210x301]=[b1a12a13b2a22a23b3a32a33]A\vec{x}=\vec{b}\\ ~\\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ ~\\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0\\ x_2 & 1 & 0\\ x_3 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1& a_{12} & a_{13}\\ b_2& a_{22} & a_{23}\\ b_3& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} Ax=b ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡b1b2b3⎦⎤ a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3 ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡x1x2x3010001⎦⎤=⎣⎡b1b2b3a12a22a32a13a23a33⎦⎤

Ax⃗=b⃗[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=[b1b2b3]a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][1x100x200x31]=[a11b1a13a21b2a23a31b3a33]A\vec{x}=\vec{b}\\ ~\\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ ~\\ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x_1 & 0\\ 0 & x_2 & 0\\ 0 & x_3 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}& b_1 & a_{13}\\ a_{21}& b_2 & a_{23}\\ a_{31}& b_3 & a_{33} \end{bmatrix} Ax=b ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡b1b2b3⎦⎤ a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3 ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡100x1x2x3001⎦⎤=⎣⎡a11a21a31b1b2b3a13a23a33⎦⎤

ProductRule(detA)(x2)=(detB2)orx2=detB2detAProduct\ Rule\ (det A)(x_2)=(det B_2)\ or\ x_2=\frac{det B_2}{det A} Product Rule (detA)(x2)=(detB2) or x2=detAdetB2

Ax⃗=b⃗[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=[b1b2b3]a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][10x101x200x3]=[a11a12b1a21a22b2a31a32b3]A\vec{x}=\vec{b}\\ ~\\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ ~\\ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & x_1\\ 0 & 1 & x_2\\ 0 & 0 & x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & b_1\\ a_{21}& a_{22} & b_2\\ a_{31}& a_{32} & b_3 \end{bmatrix} Ax=b ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡b1b2b3⎦⎤ a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3 ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤⎣⎡100010x1x2x3⎦⎤=⎣⎡a11a21a31a12a22a32b1b2b3⎦⎤

ProductRule(detA)(x3)=(detB3)orx3=detB3detAProduct\ Rule\ (det A)(x_3)=(det B_3)\ or\ x_3=\frac{det B_3}{det A} Product Rule (detA)(x3)=(detB3) or x3=detAdetB3

1.3.2 使用克莱默法则求逆矩阵

例子：

1.3.3 三角形面积

1.3.4 平行六面体体积

1.3.5 叉积

详见本人博客：3Blue1Brown系列：叉积

1.3.6 三重积（混合积）

详见本人博客：3Blue1Brown系列：叉积
详见本人博客：3Blue1Brown系列：点积

行列式（Determinants）相关推荐

矩阵的基础知识回顾:矩阵乘法，矩阵的逆，伴随矩阵，矩阵的转置，行列式，相似矩阵，实对称矩阵
Agenda 1. 矩阵matrix 1.1 矩阵运算matrix operations 1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication 1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilita ...
MIT线性代数笔记十八讲行列式及其性质
之前学习了大量长方形矩阵的性质,现在我们集中讨论方阵的性质,行列式和特征值将我们的又一个重点,求行列式则与特征值息息相关. 文章目录 1. 行列式 Determinants 2. 性质 Prope ...
在英文论文写作中，什么时候该用斜体？
作者:邹世辉链接:https://www.zhihu.com/question/27536649/answer/199320295 来源:知乎著作权归作者所有.商业转载请联系作者获得授权,非商业转 ...
数学符号在论文中的格式规范
一,使用斜体的情况: 1) 变量(variables)应该用斜体表示:例如T表示温度(temperature),r表示速率(rate). 注意:即便用变量来作为形容词的组成部分,依然要保持斜体, ...
word编辑的公式转换为mathtype,公式自动编号，数学公式规范
转换公式出现问题: 解决方案 1. 文件下载地址 https://docs.wiris.com/_media/en/mathtype/office_tools/support_notices/omm ...
1-3章、（乘、逆、转置、）、消元法、可逆方阵、向量空间（列空间、零空间）、秩和方程组解的数量
Lec01, 线性代数基础, to solve a system of linear equations求解线性方程组 n equations , n unknowns Row picture-- t ...
学术写作中的字体应用规则：斜体、罗马体、粗体与希腊字母的使用
1. 什么时候用斜体(italic)? 1) 变量(variables)应该用斜体表示:例如T表示温度(temperature),r表示速率(rate),x代表摩尔分数(molar fraction) ...
线性代数 --- 个人文章索引
这是我自己学习MIT线性代数过程中的所有学习文章索引 1,向量,矩阵(vector and Matrix) 1.1,基本概念什么叫线性组合 Linear Combination 线性相关与线性无关 ...
MyMathLib系列(行列式计算2)
/// <summary>/// 行列式计算,本程序属于MyMathLib的一部分.欢迎使用,參考,提意见./// 有时间用函数语言改写,做自己得MathLib,里面的算法经过验证,但没经 ...

行列式（Determinants）

行列式（Determinants）

1.行列式（Determinants）

1.1 行列式的性质

1.2 计算行列式的三种方法

1.2.1 The Pivot Formula

1.2.2 The Big Formula for Determinants

1.2.3 Determinant by Cofactors（余子式）

1.3 克莱默法则，逆，面积、体积、叉积、三重积

1.3.1 克莱默法则

1.3.2 使用克莱默法则求逆矩阵

1.3.3 三角形面积

1.3.4 平行六面体体积

1.3.5 叉积

1.3.6 三重积（混合积）

行列式（Determinants）相关推荐

最新文章

热门文章