1. 行列式 Determinants

行列式是一个每个方阵都具有的数值，我们将矩阵 A 的行列式记作det(A)=∣A∣det(A)= |A|det(A)=∣A∣。它将尽可能多的矩阵信息压缩在这一个数里。例如矩阵不可逆或称奇异与矩阵的行列式等于 0 等价，因此可以用行列式来判定矩阵是否可逆。

2. 性质 Properties

直接给出 n 阶行列式的公式，则一下子代入了大量信息，并不利于接受这个概念，我们从行列式的三个基本性质开始讲起。

∣I∣=1|I|=1∣I∣=1
如果交换行列式的两行，则行列式的数值会反号。从前两条可以推知置换矩阵的行列式是+1 或者-1（交换的次数是奇数还是偶数决定了正负号）。
如果在矩阵的一行乘上ttt，则行列式的值就要乘上ttt。∣tatbcd∣=t∣abcd∣\left| \begin{array} { c c } { t { a } } & { t b } \\ { c } & { d } \end{array} \right| = t \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right|∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
行列式是“矩阵的行”的线性函数。∣a+a′b+b′cd∣=∣abcd∣+∣a′b′cd∣\left| \begin{array} { c c } { a + a ^ { \prime } } & { b + b ^ { \prime } } \\ { c } & { d } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right|+\left| \begin{array} { l l } { a ^ { \prime } } & { b ^ { \prime } } \\ { c } & { d } \end{array} \right|∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣

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