5 - 多元函数微分学

文章目录

5 - 多元函数微分学
- 一、求导公式法与定义法的应用场景
- 二、全微分与偏导数
- - 1. 全微分定义
  - 2. 公式法判断是否可微的基本步骤
  - 3. 连续、偏导数与全微分的关系
- 三、多元函数微分法则
- - 1. 链式求导法则
  - 2. 隐函数求导公式
- 四、多元函数极值与最值
- - 1. 求极值-判别式法
  - 2. 求最值和极值-拉格朗日乘数法
- 五、常用运算
- - 1. 方程两边求全微分
  - 2. 多元函数求极限
  - 3. 微分间的运算
  - 4. 二阶偏导数相等

一、求导公式法与定义法的应用场景

公式法 ：在已知函数可导的前提下，求函数在 某一点 或 某一区间 上的导数，使用公式法

定义法 ：当我们不确定函数是否处处可导的情况下，使用定义法来求函数在 某一点 上是否可导及其导数值

【注】 ：当函数不是初等函数时，公式法没有对应的求导公式，只能使用定义法；但诸如 x x = x ln ⁡ x x^x=x\ln x xx=xlnx 可以用公式法处理

二、全微分与偏导数

1. 全微分定义

如果 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的全增量 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) ，可表示为
Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) Δz=AΔx+BΔy+o((Δx)2+(Δy)2 )
A，B仅与 x，y 有关，则 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy 为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的 全微分 ，记为 d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x+B\Delta y dz=AΔx+BΔy

【注】 一般求全微分为 d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy dz=∂x∂zdx+∂y∂zdy

【注】 偏导数定义与一元函数类似 f x ′ ( x , y ) = ∂ f ( x , y ) ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x f^\prime_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} fx′(x,y)=∂x∂f(x,y)=limΔx→0Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)

2. 公式法判断是否可微的基本步骤

写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
写出线性增量 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy 其中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) ， A = f y ′ ( x 0 , y 0 ) A=f^\prime_x(x_0,y_0)，A=f^\prime_y(x_0,y_0) A=fx′(x0,y0)，A=fy′(x0,y0)
做极限 lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \lim_{\Delta x\rightarrow0,\Delta y\rightarrow0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} limΔx→0,Δy→0(Δx)2+(Δy)2 Δz−(AΔx+BΔy) ，极限为 0 时，则原函数在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处可微，否则不可微

3. 连续、偏导数与全微分的关系

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一阶偏导数连续

可微

偏导数存在

原函数连续

函数极限存在

三、多元函数微分法则

1. 链式求导法则

z = f [ u ( t ) , v ( t ) ] z=f[u(t),v(t)] z=f[u(t),v(t)] 时，（下面的也叫 全导数 ）
d z d t = ∂ z ∂ u ⋅ d u d t + ∂ z ∂ v ⋅ d v d t \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dt} dtdz=∂u∂z⋅dtdu+∂v∂z⋅dtdv
【注】 通常 ∂ z ∂ u \frac{\partial z}{\partial u} ∂u∂z 也记为 f 1 ′ f^\prime_1 f1′ ， ∂ z ∂ v \frac{\partial z}{\partial v} ∂v∂z 也记为 f 2 ′ f^\prime_2 f2′ ；二阶偏导数连续时 f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f^{\prime\prime}_{12}=f^{\prime\prime}_{21} f12′′=f21′′
z = f [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] z=f[u(x,y),v(x,y)] z=f[u(x,y),v(x,y)] 时，
∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ d u d x + ∂ z ∂ v ⋅ d v d x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ⋅ d u d y + ∂ z ∂ v ⋅ d v d y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dy} ∂x∂z=∂u∂z⋅dxdu+∂v∂z⋅dxdv∂y∂z=∂u∂z⋅dydu+∂v∂z⋅dydv
z = f [ u ( x , y ) , v ( y ) ] z=f[u(x,y),v(y)] z=f[u(x,y),v(y)] 时，
∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ d u d x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ⋅ d u d y + ∂ z ∂ v ⋅ d v d y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dy} ∂x∂z=∂u∂z⋅dxdu∂y∂z=∂u∂z⋅dydu+∂v∂z⋅dydv
可以参照复合函数求导法则

2. 隐函数求导公式

对隐函数(方程) F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 在 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 的某个邻域内求偏导
∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ , ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F^\prime_x}{F^\prime_z},\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F^\prime_y}{F^\prime_z} ∂x∂z=−Fz′Fx′,∂y∂z=−Fz′Fy′
【注】 此处要求 F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F^\prime_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0 Fz′(x0,y0,z0)=0 即上式右侧分母不为 0 ，偏导数才存在。

从几何意义上讲， F z ′ = 0 F^\prime_z=0 Fz′=0 时，所得导数值为无穷大，其切线斜率无穷大并垂直于 x/y 轴，即一组（x,y）对应多个 z 值，不能确定隐函数

对 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0 ，为
∂ y ∂ x = − F x ′ F y ′ ( F y ′ ≠ 0 ) \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{F^\prime_x}{F^\prime_y}\qquad (F^\prime_y\neq0) ∂x∂y=−Fy′Fx′(Fy′=0)

四、多元函数极值与最值

1. 求极值-判别式法

必要条件

对于 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ，在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处取得极值，且在该点处 偏导数存在 ，则必有：
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 且 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f^\prime_x(x_0,y_0)=0\ 且\ f^\prime_y(x_0,y_0)=0 fx′(x0,y0)=0 且 fy′(x0,y0)=0
【注】 如上，偏导数为 0 的点是驻点
充分条件

驻点处，记：
A = f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) B = f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) C = f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) A=f^{''}_{xx}(x_0,y_0) \\ B=f^{''}_{xy}(x_0,y_0) \\ C=f^{''}_{yy}(x_0,y_0) \\ A=fxx′′(x0,y0)B=fxy′′(x0,y0)C=fyy′′(x0,y0)

Δ = ∣ A B B C ∣ = A C − B 2 \Delta= \begin{vmatrix} A & B \\ B & C \\ \end{vmatrix} =AC-B^2 \\ Δ=∣∣∣∣ABBC∣∣∣∣=AC−B2

Δ < 0 \Delta<0 Δ<0 时，该点不是极值点
Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 时，该点是极值点，其中 A > 0 A>0 A>0 时为极小值点， A < 0 A<0 A<0 时为极大值点

【注】 二阶偏导数连续时 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f^{\prime\prime}_{xy}=f^{\prime\prime}_{yx} fxy′′=fyx′′

2. 求最值和极值-拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法用于求 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在条件 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 的极值和最值，一般步骤为：

构造函数
F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
对 F ( x , y , λ ) F(x,y,\lambda) F(x,y,λ) 求偏导数，构建方程组
{ F x ′ = f x ′ ( x , y ) + λ φ x ′ ( x , y ) = 0 F y ′ = f y ′ ( x , y ) + λ φ y ′ ( x , y ) = 0 F λ ′ = φ ( x , y ) = 0 \begin{cases} F^{\prime}_x=f^\prime_x(x,y)+\lambda\varphi^\prime_x(x,y)=0 \\ F^{\prime}_y=f^\prime_y(x,y)+\lambda\varphi^\prime_y(x,y)=0 \\ F^\prime_\lambda=\varphi(x,y)=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧Fx′=fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0Fλ′=φ(x,y)=0
解方程，找到所有可疑点的坐标，并判断是否是极值点(如果求最值则不用判别是否是极值)
将坐标代回 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ，比较各极值的大小后可以的到最值

解方程时计算量可能稍大，大胆的去算！

【注】 对于 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ，可以用极值/最值点相同的函数代替来化简计算，比如 z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 可用 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2 代替

五、常用运算

1. 方程两边求全微分

F ( x , y , z ) = 0 ⟹ F x ′ d x + F y ′ d y + F z ′ d z = 0 F(x,y,z)=0\Longrightarrow F^\prime_xdx+F^\prime_ydy+F^\prime_zdz=0 F(x,y,z)=0⟹Fx′dx+Fy′dy+Fz′dz=0

2. 多元函数求极限

例 lim ⁡ x → 0 , y → 0 x y x 2 + y 2 令 y = k x 原式 = lim ⁡ x → 0 k x 2 ( 1 + k 2 ) x 2 = lim ⁡ x → 0 k 1 + k 2 ∴ 极限不存在 \begin{aligned} 例&\lim_{x\rightarrow0,y\rightarrow0} \frac{xy}{x^2+y^2} \\ &令\ y=kx \\ 原式&=\lim_{x\rightarrow0} \frac{kx^2}{(1+k^2)x^2} \\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{k}{1+k^2} \\ &\therefore 极限不存在 \end{aligned} 例原式x→0,y→0limx2+y2xy令 y=kx=x→0lim(1+k2)x2kx2=x→0lim1+k2k∴极限不存在

3. 微分间的运算

d x ⋅ d x = d x 2 = 2 x d x dx\cdot dx=dx^2=2xdx dx⋅dx=dx2=2xdx
d 2 x = 0 d^2x=0 d2x=0 ，可以认为：
d 2 y d x 2 = y ′ ′ ( x ) d 2 y = y ′ ′ ( x ) d x 2 令 y = x ，则有 d 2 y = ( x ) ′ ′ d x 2 = 0 \begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}=&y^{\prime\prime}(x) \\ d^2y=&y^{\prime\prime}(x)dx^2 \\ 令\ y=x，则有\ d^2y=&(x)^{\prime\prime}dx^2=0 \end{aligned} dx2d2y=d2y=令 y=x，则有 d2y=y′′(x)y′′(x)dx2(x)′′dx2=0

4. 二阶偏导数相等

设连续函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ，给定了
∂ f ( x , y ) ∂ x = φ ( x , y ) ∂ f ( x , y ) ∂ y = ψ ( x , y ) \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\varphi(x,y) \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\psi(x,y) ∂x∂f(x,y)=φ(x,y)∂y∂f(x,y)=ψ(x,y)
可以利用二阶偏导数相等（ ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y} ∂x∂y∂2f(x,y)），构造方程，即
φ ( x , y ) ∂ y = ψ ( x , y ) ∂ x \frac{\varphi(x,y)}{\partial y}=\frac{\psi(x,y)}{\partial x} ∂yφ(x,y)=∂xψ(x,y)