Chapter 1

Lesson 8

Hint1{Hint}^1Hint1：设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​的某邻域内有定义，如果lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0Δx→0lim​Δy=Δx→0lim​[f(x0​+Δx)−f(x0​)]=0，则称f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​连续。

Hint2{Hint}^2Hint2：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)x→x0​lim​f(x)=f(x0​)说明连续。

Hint3{Hint}^3Hint3：

如果函数在去心邻域内有定义，如果f(x)f(x)f(x)有以下三种情形之一：

1)1)1) 在x=x0x=x_0x=x0​处没有定义。
2)2)2) 在x=x0x=x_0x=x0​处有定义，但极限不存在。
3)3)3) 有定义，有极限，但是lim⁡x→x0f(x)≠f(x0)\lim\limits_{x\to x_0} f(x) \not=f(x_0)x→x0​lim​f(x)​=f(x0​)
那么f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处不连续，x0x_0x0​是f(x)f(x)f(x)的间断点。

Hint4{Hint}^4Hint4：

间断点的分类

第一类间断点：左右极限都存在的间断点。
{可去间断点：左右极限存在且相等跳跃间断点：左右极限存在但不相等\left\{ \begin{aligned} 可去间断点：&左右极限存在且相等 \\ 跳跃间断点：&左右极限存在但不相等\\ \end{aligned} \right. {可去间断点：跳跃间断点：​左右极限存在且相等左右极限存在但不相等​
第二类间断点： 左右极限中至少有一个不存在的间断点。【无穷和振荡】

Hint5{Hint}^5Hint5：如果函数在x0x_0x0​连续，并且f(x0)>0f(x_0)>0f(x0​)>0，则存在x0x_0x0​的邻域使得当x∈U(x0)x \in U(x_0)x∈U(x0​)时，f(x)>0f(x)>0f(x)>0。【连续函数保号性】

Lesson 9

Hint1{Hint}^1Hint1：

连续函数四则运算：
连续函数+不连续函数=不连续函数；
连续函数+连续函数=连续函数
乘除不确定。
复合函数：
仅当连续复合连续才是连续。

Hint2{Hint}^2Hint2：反函数和原函数单调性相同。

Hint3{Hint}^3Hint3：体会一下特殊函数f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)在取最值上的妙用。

例： 已知f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0​处连续，证明函数max{f(x),g(x)}，min{f(x),g(x)}max\{f(x),g(x)\}，min\{f(x),g(x)\}max{f(x),g(x)}，min{f(x),g(x)}在x0x_0x0​处连续。
证明：
已知f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0​处连续，容易得到h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)−g(x)连续。
令p=∣h(x)∣p=|h(x)|p=∣h(x)∣，可证p(x)p(x)p(x)在x0x_0x0​处连续。
而a(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)+g(x)+h(x)2a(x)=max\{f(x),g(x)\}=\frac{f(x)+g(x)+h(x)}{2}a(x)=max{f(x),g(x)}=2f(x)+g(x)+h(x)​
b(x)=min{f(x),g(x)}=f(x)+g(x)−h(x)2b(x)=min\{f(x),g(x)\}=\frac{f(x)+g(x)-h(x)}{2}b(x)=min{f(x),g(x)}=2f(x)+g(x)−h(x)​

Hint4{Hint}^4Hint4：带三角函数的题也要注意和差化积。

例： 求lim⁡x→αsin⁡x−sin⁡αx−α\lim\limits_{x\to \alpha}\frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}x→αlim​x−αsinx−sinα​
和差化积不需要特地去记，只需要记住：
x+y2\frac{x+y}{2}2x+y​和x−y2\frac{x-y}{2}2x−y​代进去即可得到答案。
PS:PS:PS:积化和差的时候比较难，需要最好代入所有情况，否则无法直接看出来。
或者背(不提倡）
解：
原式 =lim⁡x→α2sin⁡x−α2cos⁡x+α2x−α=lim⁡x→α2(x−α)2cos⁡x+α2x−α=lim⁡x→αcos⁡x+α2=cos⁡α=\lim\limits_{x\to \alpha}\frac{2\sin \frac{x-\alpha}{2}\cos \frac{x+ \alpha }{2}}{x-\alpha}=\lim\limits_{x\to \alpha}\frac{2\frac{(x-\alpha)}{2}\cos\frac{x+\alpha}{2}}{x-\alpha}=\lim\limits_{x\to\alpha}\cos{\frac{x+\alpha}{2}}=\cos \alpha=x→αlim​x−α2sin2x−α​cos2x+α​​=x→αlim​x−α22(x−α)​cos2x+α​​=x→αlim​cos2x+α​=cosα

Hint5{Hint}^5Hint5：尽量去凑等价无穷小，凑不成也要凑。

例： lim⁡x→eln⁡x−1x−e\lim\limits_{x\to e}\frac{\ln x-1}{x-e}x→elim​x−elnx−1​
解：
原式 =lim⁡x→eln⁡xex−e=lim⁡x→eln⁡(1+xe−1)x−e=lim⁡x→exe−1x−e=1e=\lim\limits_{x\to e}\frac{\ln\frac{x}{e}}{x-e}=\lim\limits_{x\to e}\frac{\ln(1+\frac{x}{e}-1)}{x-e}=\lim\limits_{x\to e}\frac{\frac{x}{e}-1}{x-e}=\frac{1}{e}=x→elim​x−elnex​​=x→elim​x−eln(1+ex​−1)​=x→elim​x−eex​−1​=e1​

Lesson 10

Hint1：{Hint}^1：Hint1：对于闭区间则有，有界性与最大值最小值定理。

Hint2：{Hint}^2：Hint2：课堂小知识

f(x)f(x)f(x)关于aaa对称，f(x)=f(2a−x)orf(a+x)=f(a−x)f(x)=f(2a-x) or f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a−x)orf(a+x)=f(a−x)
f(x)f(x)f(x)关于a、ba、ba、b对称,f(x)=f(x+2b−2a)f(x)=f(x+2b-2a)f(x)=f(x+2b−2a)

Hint3：{Hint}^3：Hint3：零点存在性定理(前提是连续)

可以推广至开区间的极限，lim⁡x→a+f(x)∗f(b)<0\lim\limits_{x\to a^+} f(x)*f(b)<0x→a+lim​f(x)∗f(b)<0
奇次幂方程一定有根，因为−∞,+∞-\infty,+\infty−∞,+∞会使得f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0

Hint4：{Hint}^4：Hint4：介值定理

设f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)≠f(b)f(a)\not =f(b)f(a)​=f(b)，则对于f(a)f(a)f(a)和f(b)f(b)f(b)之间的任何一个数μ\muμ，至少存在一个点ϵ∈(a,b)\epsilon \in(a,b)ϵ∈(a,b)，使f(ϵ)=μf(\epsilon)=\muf(ϵ)=μ.
推广，以上最小值到最大值区间都可以取到。

Hint5：{Hint}^5：Hint5：左右只要极限存在，并且保证定义域内连续，就一定有界。

证明也很简单，靠近端点的部分只要有极限，说明邻域有界，然后取两个邻域端点构成闭区间。从而使得整个函数都有界。

Hint5：{Hint}^5：Hint5：和差化积

在实在划不出来的时候，应该把常数项转换成三角函数，进行和差化积。这里其实积形式出来后，上下消去cos⁡\coscos就结束了。
遇到积和差在一块的时候，要把和差化积，这样才能消去某些项。
例：lim⁡x→π2(sin⁡x)tan⁡x\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}x→2π​lim​(sinx)tanx
解：

Chapter 2

Lesson 1

Hint1：{Hint}^1：Hint1：f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)的定义中分子必须包含函数值即f(x0)f(x_0)f(x0​)。

Hint2：{Hint}^2：Hint2：f′(x0)=A∼f′(x0−)=f′(x0+)=Af'(x_0)=A\sim f'(x_0^-)=f'(x_0^+)=Af′(x0​)=A∼f′(x0−​)=f′(x0+​)=A

Hint3：{Hint}^3：Hint3：可导一定连续，连续不一定可导。

例：
f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n)f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n)f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n)，则f′(0)=n!f'(0)=n!f′(0)=n!
用导数定义求解。
遇到一个点的导数要学会用导数定义。
例：
f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)存在，lim⁡h→0f(x+h)−f(x−h)2h\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}h→0lim​2hf(x+h)−f(x−h)​不能表示成导数的定义。
lim⁡h→0f(x+h)−f(x−h)2h=12lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h+f(x)−f(x−h)h\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{f(x)-f(x-h)}{h}h→0lim​2hf(x+h)−f(x−h)​=21​h→0lim​hf(x+h)−f(x)​+hf(x)−f(x−h)​
能拆开，那么如果这两个极限存在，才能保证该点极限存在，但这两个就是极限定义，即导数。
所以我们不能推导出来其存在。

Hint4：{Hint}^4：Hint4：

f(x)f(x)f(x)是奇函数，f′(x)f'(x)f′(x)是偶函数；反之也对。
周期函数的导函数还是以TTT为周期。

Lesson 2

Hint1：{Hint}^1：Hint1：可导±\pm±不可导===不可导

Hint2：{Hint}^2：Hint2：反函数x=ϕ(y)x=\phi(y)x=ϕ(y)导数=1f′(x)=\frac{1}{f'(x)}=f′(x)1​

Hint3：{Hint}^3：Hint3：ln⁡∣x∣\ln|x|ln∣x∣的导数是1x\frac{1}{x}x1​

y=(x−1)(x−2)y=\sqrt{(x-1)(x-2)}y=(x−1)(x−2)​，对数求导法转换成ln⁡y=ln⁡∣x−1∣+ln⁡∣x−2∣\ln y =\ln|x-1|+\ln|x-2|lny=ln∣x−1∣+ln∣x−2∣。
y′y=1x−1+1x−2\frac{y'}{y}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}yy′​=x−11​+x−21​

Hint4{Hint}^4Hint4：f(x)f(x)f(x)可导，f(x0)=0f(x_0)=0f(x0​)=0，g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0​连续。

若ggg可导，肯定可导。
若不可导，lim⁡f(x)g(x)−f(x0)g(x0)x−x0=lim⁡f(x)g(x)x−x0=lim⁡f(x)g(x)−f(0)g(x)x−x0=f′(x0)g(x0)，即∈\lim\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim\frac{f(x)g(x)}{x-x_0}=\lim\frac{f(x)g(x)-f(0)g(x)}{x-x_0}=f'(x_0)g(x_0)，即\inlimx−x0​f(x)g(x)−f(x0​)g(x0​)​=limx−x0​f(x)g(x)​=limx−x0​f(x)g(x)−f(0)g(x)​=f′(x0​)g(x0​)，即∈.
若f(x)f(x)f(x)可导，g(x)g(x)g(x)连续不可导，且只考虑x0x_0x0​的邻域，则当且仅当f(x0)=0f(x_0)=0f(x0​)=0的时候，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)在x0x_0x0​处可导。

选AAA。

Lesson 3

高阶导数求导

Hint1{Hint}^1Hint1：归纳法求高阶导数

Hint2{Hint}^2Hint2：分解法求高阶导数

(eax+b)(n)=aneax+b(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}(eax+b)(n)=aneax+b
[sin⁡(ax+b)](n)=ansin⁡(ax+b+nπ2)[\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})[sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+2nπ​)
[cos⁡(ax+b)](n)=ancos⁡(ax+b+nπ2)[\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos(ax+b+\frac{n\pi}{2})[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+2nπ​)
[ln⁡(ax+b)](n)=(−1)n−1an(n−1)!(ax+b)n[\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}[ln(ax+b)](n)=(−1)n−1an(ax+b)n(n−1)!​
(1ax+b)(n)=(−1)nann!(ax+b)n+1(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=(-1)^na^n\frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}(ax+b1​)(n)=(−1)nan(ax+b)n+1n!​

Hint3{Hint}^3Hint3：莱布尼茨求解

(uv)(n)=∑k=0nC(n,k)u(n−k)v(k)(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^nC(n,k)u^{(n-k)}v^{(k)}(uv)(n)=k=0∑n​C(n,k)u(n−k)v(k)

Hint4{Hint}^4Hint4:

已知dxdy=1y‘\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y`}dydx​=y‘1​，求d2xdy2=\frac{d^2x}{dy^2}=dy2d2x​=
解：

Lesson 4

Hint1{Hint}^1Hint1：

参数方程求导 y′=y′(t)x′(t)y'=\frac{y'(t)}{x'(t)}y′=x′(t)y′(t)​
二阶导 y′′=d(dydx)dt∗dtdxy''=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}*\frac{dt}{dx}y′′=dtd(dxdy​)​∗dxdt​

Lesson 5

Hint1{Hint}^1Hint1：可微即可导：dy∣x=x0=f′(x0)Δx=f′(x0)dxdy|_{x=x_0}=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dxdy∣x=x0​​=f′(x0​)Δx=f′(x0​)dx

后面的等号是人为规定(当xxx是自变量)

Hint2{Hint}^2Hint2：f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​的微分是函数，自变量是dxdxdx

Hint3{Hint}^3Hint3：函数微分可以看做是切线的增量，所以一般du!=Δudu!=\Delta udu!=Δu，但是一次函数的话就是例外。

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