0 前言

物理大地测量学PPT过于丑陋，严重危害了本人复习效率，又因网上鲜有人整理该科目的内容，遂作此笔记。笔记不会严格按照书本或PPT的章节划分，主要目的在于串联知识、梳理概念，对于基础的计算会适当掠过，欢迎指正或补充。

1 引力和引力位

1.1 引力

为便于计算，物理大地测量学中所讨论的引力，被吸引质体始终是单位质量。

根据牛顿万有引力定律：
F=Gm1m2l2\large F=G\frac{m_1m_2}{l^2} F=Gl2m1​m2​​
令 m1=m,m2=1m_1=m, m_2=1m1​=m,m2​=1 ，得到引力表达式：
F=Gml2\large F=G\frac{m}{l^2} F=Gl2m​
在直角坐标系下，假设质点m坐标为 ，被吸引点P坐标为 ，容易得到引力在XYZ三个坐标轴上的分量大小：
{X=−Fcos⁡α=−Gml2x−ξl=−Gm(x−ξ)l3Y=−Fcos⁡β=−Gml2y−ηl=−Gm(y−η)l3Z=−Fcos⁡γ=−Gml2z−ζl=−Gm(z−ζ)l3\large \left\{ \begin{array}{c}X=-F\cos \alpha =-\frac{Gm}{l^2}\frac{x-\xi}{l}=-\frac{Gm\left( x-\xi \right)}{l^3}\\Y=-F\cos \beta =-\frac{Gm}{l^2}\frac{y-\eta}{l}=-\frac{Gm\left( y-\eta \right)}{l^3}\\Z=-F\cos \gamma =-\frac{Gm}{l^2}\frac{z-\zeta}{l}=-\frac{Gm\left( z-\zeta \right)}{l^3}\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​X=−Fcosα=−l2Gm​lx−ξ​=−l3Gm(x−ξ)​Y=−Fcosβ=−l2Gm​ly−η​=−l3Gm(y−η)​Z=−Fcosγ=−l2Gm​lz−ζ​=−l3Gm(z−ζ)​​
其中：
l=(x−ξ)2+(y−η)2+(z−ζ)2\large l=\sqrt{\left( x-\xi \right) ^2+\left( y-\eta \right) ^2+\left( z-\zeta \right) ^2} l=(x−ξ)2+(y−η)2+(z−ζ)2​
余弦值的计算，可以放到长方体中去看，比较清楚明了：

分量的计算，是为了导出引力位做准备。

1.2 引力位

1.2.1 引力位定义

对于任何的力场都有对应的位场。给出位函数的定义：

设有一个标量函数，它对被吸引点各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量。

对于引力，则有引力位：
V=Gml\large V=\frac{Gm}{l} V=lGm​
证明该公式，只需要求V在三个方向上的偏导，和上面求得.的分量对比即可，这里省略。

事实上，力位在任意方向上的方向导数都等于力在该方向的投影。

1.2.2 利用引力位计算做功

引力场是保守力场，做功和路径无关，有起始点的位置决定。易得：
A=−∫l1l2Gml2dl=Gml2−Gml1=V2−V1\large A=-\int_{l_1}^{l_2}{\frac{Gm}{l^2}}dl=\frac{Gm}{l_2}-\frac{Gm}{l_1}=V_2-V_1 A=−∫l1​l2​​l2Gm​dl=l2​Gm​−l1​Gm​=V2​−V1​
因此从引力所做的功等于终点引力位减去起点引力位。

1.2.3 利用引力位计算位能

位能是将质点移动到选定的零位置时保守力所做的功。由做功计算可得
E=V∞−V=0−V=−V\large E=V_{\infty}-V=0-V=-V E=V∞​−V=0−V=−V
因此位能和引力位互为相反数。

1.3 层、面、质体的引力及其位

考虑到引力位的表达形式最简单，并且引力可以通过对引力位梯度运算求得，因此这里所有的过程都是微元→积分→得到引力位→得到引力。历年卷中会考察密度不均匀质体的引力位计算，基本都是大物的基础，知道基本的思路即可。

1.3.2 质面和质体

闭合表面质量为 mmm，密度为 κκκ，面积单元为 dσdσdσ，则有
κ=dmdσ\large \kappa =\frac{dm}{d\sigma} κ=dσdm​
积分得
V=G∬σdml=G∬σκldσ\large V=G\iint\limits_{\sigma}{\frac{dm}{l}}=G\iint\limits_{\sigma}{\frac{\kappa}{l}}d\sigma V=Gσ∬​ldm​=Gσ∬​lκ​dσ
同样地，对于质体，只需要把密度符号换一下：
V=G∬vdml=G∬σρldv\large V=G\iint\limits_v{\frac{dm}{l}}=G\iint\limits_{\sigma}{\frac{\rho}{l}}dv V=Gv∬​ldm​=Gσ∬​lρ​dv
接下来讨论一些典型质体：

1.3.3 均质球面

外部

取球面上一个微小的近似矩形，写出其两个边长，得到微分面积dσ
dσ=Rdψ⋅Rsin⁡ψdλ\large d\sigma =Rd\psi \cdot R\sin \psi d\lambda dσ=Rdψ⋅Rsinψdλ
则球面形成的引力位为
Ve=G∬σκldσ=Gκ∫02π∫0πR2sin⁡ψldψdλ\large V_e=G\iint\limits_{\sigma}{\frac{\kappa}{l}d\sigma}=G\kappa \int_0^{2\pi}{\int_0^{\pi}{\frac{R^2\sin \psi}{l}d\psi d\lambda}} Ve​=Gσ∬​lκ​dσ=Gκ∫02π​∫0π​lR2sinψ​dψdλ
由余弦定理，构建 ψψψ 和 lll 的函数关系，从而将 dψdψdψ 转换为 dldldl ,便于积分运算：
l2=R2+r2−2Rrcos⁡ψ\large l^2=R^2+r^2-2Rr\cos \psi l2=R2+r2−2Rrcosψ
两边同时微分：
2ldl=2Rrsin⁡ψdψ\large 2ldl=2Rr\sin \psi d\psi 2ldl=2Rrsinψdψ
代入得：
Ve=Gκ∫02π∫r−Rr+RRlrdldλ=GκRr∫02π∫r−Rr+Rdldλ=GκRr2π⋅2R=Gr⋅4πR2κ=GMr\large V_e=G\kappa \int_0^{2\pi}{\int_{r-R}^{r+R}{\frac{R}{lr}dld\lambda}}=G\kappa \frac{R}{r}\int_0^{2\pi}{\int_{r-R}^{r+R}{dld\lambda}} \\ \\ \\ =G\kappa \frac{R}{r}2\pi \cdot 2R=\frac{G}{r}\cdot 4\pi R^2\kappa =G\frac{M}{r} Ve​=Gκ∫02π​∫r−Rr+R​lrR​dldλ=GκrR​∫02π​∫r−Rr+R​dldλ=GκrR​2π⋅2R=rG​⋅4πR2κ=GrM​
则引力大小为：
Fe=∂Ve∂r=−GMr2\large F_e=\frac{\partial V_e}{\partial r}=-G\frac{M}{r^2} Fe​=∂r∂Ve​​=−Gr2M​

内部

几何关系和外部一样，因此只需要改变 dldldl 的积分上下限：
Vi=GκRr∫02π∫R−rR+rdldλ=4πGκR=GMR\large V_i=G\kappa \frac{R}{r}\int_0^{2\pi}{\int_{R-r}^{R+r}{dld\lambda}}=4\pi G\kappa R=G\frac{M}{R} Vi​=GκrR​∫02π​∫R−rR+r​dldλ=4πGκR=GRM​Fi=∂Vi∂r=0\large F_i=\frac{\partial V_i}{\partial r}=0 Fi​=∂r∂Vi​​=0

结论

球面对外部点的引力，等同于将球面质量完全集中在球心的质点；

球面对内部点的引力位为常数，因此引力为0。

1.3.3 均质球壳（有厚度）

将球壳看作无数个球面（面密度σ改为体密度ρ），也就是以球面为单元进行积分，此时变量为R。PPT中将内径设为R1，外径设为R，积分时则用R’，个人觉得看起来十分紊乱，因此改为了R1和R2，对R积分。

分为两种情况：

外部（r>Rr>Rr>R）

和球面面类似，由体积公式，外部引力位同样等同于质量集中在圆心。

内部（R1<r<R2R_1<r<R_2R1​<r<R2​ ）

考虑两部分，一部分为R1和r之间的球壳，一部分为r到R2之间的球壳。对于靠外的部分，应用球面内部的引力位公式对R积分；对于靠外的部分，应用上面所求的公式即可。具体过程省略。

1.3.4 平面层

平面层积分较为简单，当然最关键的依然是将当前坐标变量转换dl，会使计算简单很多。

下面直接给出计算过程：
首先依然是考虑微元关系：
dm=κ⋅rdα⋅dr\large dm=\kappa \cdot rd\alpha \cdot dr \\ dm=κ⋅rdα⋅dr
其次建立起dl和坐标变量的关系：
l2=r2+z2⟺2ldl=2rdr⟺ldl=rdr\large l^2=r^2+z^2\Longleftrightarrow 2ldl=2rdr\Longleftrightarrow ldl=rdr l2=r2+z2⟺2ldl=2rdr⟺ldl=rdr
最后积分求解：
VP=G∬σdml=G∫02π∫0Rκrr2+z2drdα=G∫02π∫zR2+z2κlldldα=2πGκ(R2+z2−z)\large V_P=G\iint\limits_{\sigma}{\frac{dm}{l}}=G\int_0^{2\pi}{\int_0^R{\frac{\kappa r}{\sqrt{r^2+z^2}}}}drd\alpha \\ =G\int_0^{2\pi}{\int_z^{\sqrt{R^2+z^2}}{\frac{\kappa l}{l}}}dld\alpha =2\pi G\kappa \left( \sqrt{R^2+z^2}-z \right) VP​=Gσ∬​ldm​=G∫02π​∫0R​r2+z2​κr​drdα=G∫02π​∫zR2+z2​​lκl​dldα=2πGκ(R2+z2​−z)

这里比较典型的一点是，尽管位函数显然是处处连续的，但在平面层的上下交界处，其导数不连续（力的方向大小相等，方向相反），因此引力场可能不连续。严格证明则可以通过求极限，这里不再展开。

2 引力位的性质

这部分内容比较重要，因此单独拎出来。

1 引力位对任意方向h的导数等于引力在该方向上的分量

2 引力位与位能的数值相同，符号相反

前面已经证明过，掌握定义即可直接推导

3 引力的方向与引力位水准面（等位面）的法向重合。同一簇等位面之间既不平行又不相交和相切

可通过性质1简单证明，即夹角为0°和90°两种情况，得到一个为0，一个为最大值（也就是引力）。

4 引力位是一个在无穷远处的正则函数，满足下列等式：

证明的方法如出一辙，将引力位基本公式：
V=∭vGdmlV=\iiint\limits_v{G\frac{dm}{l}} V=v∭​Gldm​
代入每个式子，简单求极限即可。

5 质体引力为在吸引质量外部满足Laplace方程：

证明也很容易，首先对 求三次二阶导，证明其调和性：
∂2∂x2(1l)=−1l3+3(x−ξ)2l5⟹Δ(1l)=−3l3+3l2l5=0\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\left( \frac{1}{l} \right) =-\frac{1}{l^3}+\frac{3\left( x-\xi \right) ^2}{l^5}\Longrightarrow \varDelta \left( \frac{1}{l} \right) =-\frac{3}{l^3}+\frac{3l^2}{l^5}=0 ∂x2∂2​(l1​)=−l31​+l53(x−ξ)2​⟹Δ(l1​)=−l33​+l53l2​=0
应用引力位基本公式，由于其它量和xyz都无关，因此Laplace算子可以直接放入积分内部：
ΔV=Δ(G∭vdml)=G∭vΔ(1l)dm=0\varDelta V=\varDelta \left( G\iiint\limits_v{\frac{dm}{l}} \right) =G\iiint\limits_v{\varDelta \left( \frac{1}{l} \right) dm}=0 ΔV=Δ⎝⎛​Gv∭​ldm​⎠⎞​=Gv∭​Δ(l1​)dm=0

6 质体引力位在质体内部满足Poisson方程

证明思路：

在质体内任取一点，并以该点为圆心取任意半径的球体（球体完全在该质体内部），此时有两部分引力位。对于球体以外的部分，其ΔV\Delta VΔV沿用性质5，显然等于0；对于球体部分产生的引力位，套用之前球层的引力位公式：
V1=23πGρ(3R2−r2)V_1=\frac{2}{3}\pi G\rho \left( 3R^2-r^2 \right) V1​=32​πGρ(3R2−r2)
容易得到：
ΔV1=−4πGρ\varDelta V_1=-4\pi G\rho ΔV1​=−4πGρ

2.7 质体引力位的二阶导数在密度发生突变时是不连续的

这一点可以直接参照Poisson方程，其二阶导和密度ρ线性相关，因此密度不连续时，二阶导也不连续。任意举一个例子都能得出这个结论。

3 球谐函数

球谐函数是最重要的谐函数。在书上并没有对其概念和用处做详细的介绍，导致很长一段时间都非常困惑于此。

这里可以简单将球谐函数理解为类似于傅里叶变换的展开式，同样它所使用的也是一组正交基底。球谐函数是在球面坐标系中进行的，相对应的，如果去掉半径量，就得到面谐函数。

在物理大地测量学中，球谐函数的主要作用就是将谐函数展开成级数形式，便于编程计算。什么是谐函数？满足Laplace方程的就是谐函数——因此球谐函数可以用来表达地球引力位。有了引力位，其它重力场参数如大地水准面高、重力扰动、重力异常也就水到渠成。

3.1 Laplace方程的球坐标形式

通过球坐标和直角坐标的关系，求二阶导数，当然可以将Laplace方程的直角形式转换为球坐标形式。但实际上任何正交坐标都有通用的转换方式，只需要建立两坐标系的数学关系，求得新坐标系的拉梅系数hi，即可得到其Laplace方程表达式。

3.1.1 正交坐标系

怎样确定一个坐标系是否正交？书上给出的方法是计算ds，也就是微分弧段的长度。

在直角坐标系中：
ds2=dx2+dy2+dz2ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 ds2=dx2+dy2+dz2
根据球坐标和直角坐标转换关系：
{x=rsin⁡θcos⁡λy=rsin⁡θsin⁡λz=rcos⁡θ\left\{ \begin{array}{c} x=r\sin \theta \cos \lambda\\ y=r\sin \theta \sin \lambda\\ z=r\cos \theta\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​x=rsinθcosλy=rsinθsinλz=rcosθ​
得到在球坐标系下ds的表达式：
ds2=dr2+r2dθ2+r2sin⁡2θdλ2ds^2=dr^2+r^2d\theta ^2+r^2\sin ^2\theta d\lambda ^2 ds2=dr2+r2dθ2+r2sin2θdλ2
其中不包含drdθ等交叉项，说明了求坐标的正交性。

实际上，在正交坐标系 中，如果将单元弧段的形式表示为：
ds2=h12dq12+h22dq22+h32dq32ds^2=h_{1}^{2}dq_{1}^{2}+h_{2}^{2}dq_{2}^{2}+h_{3}^{2}dq_{3}^{2} ds2=h12​dq12​+h22​dq22​+h32​dq32​
其中hi称为拉梅系数。

则可以证明得到其Laplace方程表达形式为：
ΔV=1h1h2h3[∂∂q1(h2h3h1∂V∂q1)+∂∂q2(h1h3h2∂V∂q2)+∂∂q3(h1h2h3∂V∂q3)]\varDelta V=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial V}{\partial q_1} \right) +\frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{h_1h_3}{h_2}\frac{\partial V}{\partial q_2} \right) +\frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial V}{\partial q_3} \right) \right] ΔV=h1​h2​h3​1​[∂q1​∂​(h1​h2​h3​​∂q1​∂V​)+∂q2​∂​(h2​h1​h3​​∂q2​∂V​)+∂q3​∂​(h3​h1​h2​​∂q3​∂V​)]

3.1.2 球坐标系下的Laplace方程

对于一切的正交坐标系，只需要分别求出 h1,h2,h3h_1, h_2, h_3h1​,h2​,h3​，代入上式即可得到该坐标系下的Laplace方程式。下面省略推导过程，给出球坐标系下的方程形式：
ΔV≡∂2V∂r2+2r∂V∂r+1r2∂2V∂ϑ2+cot⁡ϑr2∂V∂ϑ+1r2sin⁡2ϑ∂2V∂λ2=0\Delta V \equiv \frac{\partial^{2} V}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial V}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial \vartheta^{2}}+\frac{\cot \vartheta}{r^{2}} \frac{\partial V}{\partial \vartheta}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} V}{\partial \lambda^{2}}=0 ΔV≡∂r2∂2V​+r2​∂r∂V​+r21​∂ϑ2∂2V​+r2cotϑ​∂ϑ∂V​+r2sin2ϑ1​∂λ2∂2V​=0
或两边同乘r的平方：
r2∂2V∂r2+2r∂V∂r+∂2V∂θ2+cot⁡θ∂V∂θ+1sin⁡2θ∂2V∂λ2=0r^2\frac{\partial ^2V}{\partial r^2}+2r\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{\partial ^2V}{\partial \theta ^2}+\cot \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin ^2\theta}\frac{\partial ^2V}{\partial \lambda ^2}=0 r2∂r2∂2V​+2r∂r∂V​+∂θ2∂2V​+cotθ∂θ∂V​+sin2θ1​∂λ2∂2V​=0

3.2 球谐函数的导出

在导出球谐函数的过程中，最核心的方法是分离变量法。将V(r，θ，λ) 转换为三个特征函数相乘的形式，分别对应三个变量。即V(r，θ，λ) =f®×g(θ)×h(λ)。 需要掌握三种特征函数的形式，以及球谐函数的形式，球面内外的区别（根据其收敛性）。

3.2.1 第一次分离变量（f(r)f(r)f(r)）

分离变量：
V(r,θ,λ)=f(r)Y(θ,λ)V\left( r,\theta ,\lambda \right) =f\left( r \right) Y\left( \theta ,\lambda \right) V(r,θ,λ)=f(r)Y(θ,λ)
代入Laplace方程得：
1f(r2f′′+2rf′)=−1Y(∂2Y∂θ2+cot⁡θ∂Y∂θ+1sin⁡2θ∂2Y∂2λ)\frac{1}{f}\left( r^2f''+2rf' \right) =-\frac{1}{Y}\left( \frac{\partial ^2Y}{\partial \theta ^2}+\cot \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin ^2\theta}\frac{\partial ^2Y}{\partial ^2\lambda} \right) f1​(r2f′′+2rf′)=−Y1​(∂θ2∂2Y​+cotθ∂θ∂Y​+sin2θ1​∂2λ∂2Y​)
由于左右两边变量互不相关，但又要保持等式成立，因此两边都是常数。该常数也叫做本征值。将其表示为 n(n+1) ，则有：
(r2f′′+2rf′)−n(n+1)f=0\left( r^2f''+2rf' \right) -n\left( n+1 \right) f=0 (r2f′′+2rf′)−n(n+1)f=0
解得关于r的特征函数（两个解）：
{f(r)=rnf(r)=1rn+1\left\{ \begin{array}{c} f\left( r \right) =r^n\\ f\left( r \right) =\frac{1}{r^{n+1}}\\ \end{array} \right. {f(r)=rnf(r)=rn+11​​
在这里当n为一个常数时，其实对应了微分方程的一个特解。而取n=0,1,2一直到正无穷，乘以一个系数并求和，才能得到通解：
{f(r)=∑n=0∞cnrnf(r)=∑n=0∞dnr−(n+1)\left\{ \begin{array}{c} f\left( r \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{c_nr^n}\\ \\f\left( r \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{d_nr^{-\left( n+1 \right)}}\\ \end{array} \right.⎩⎨⎧​f(r)=∑n=0∞​cn​rnf(r)=∑n=0∞​dn​r−(n+1)​

3.2.2 第二次分离变量（面谐函数）

将面谐函数继续分离变量：
Y(θ,λ)=g(θ)h(λ)Y\left( \theta ,\lambda \right) =g\left( \theta \right) h\left( \lambda \right) Y(θ,λ)=g(θ)h(λ)代入之前的式子得：
sin⁡θg(sin⁡θg′′+cos⁡θg′+n(n+1)sin⁡θg)=−h′′h\frac{\sin \theta}{g}\left( \sin \theta g''+\cos \theta g'+n\left( n+1 \right) \sin \theta g \right) =-\frac{h''}{h} gsinθ​(sinθg′′+cosθg′+n(n+1)sinθg)=−hh′′​
与之前同理，两边都为常数，将此常数设为m的平方，则有微分方程组：
{h′′+m2h=0sin⁡θ(sin⁡θg′′+cos⁡θg′+n(n+1)sin⁡θg)−m2g=0\left\{ \begin{array}{c} h''+m^2h=0\\ \sin \theta \left( \sin \theta g''+\cos \theta g'+n\left( n+1 \right) \sin \theta g \right) -m^2g=0\\ \end{array} \right. {h′′+m2h=0sinθ(sinθg′′+cosθg′+n(n+1)sinθg)−m2g=0​
解得h（这个我会！ ）：
{h(λ)=cos⁡mλh(λ)=sin⁡mλ\left\{ \begin{array}{c} h\left( \lambda \right) =\cos m\lambda\\ h\left( \lambda \right) =\sin m\lambda\\ \end{array} \right. {h(λ)=cosmλh(λ)=sinmλ​
至于g，它的解也就是勒让德级数，该方程称为勒让德微分方程。表示为：
g(θ)=Pnm(cos⁡θ)g\left( \theta \right) =P_{nm}\left( \cos \theta \right) g(θ)=Pnm​(cosθ)

书上还有有这么一句话：

可以证明，只有当n和m为整数0,1,2…且m≤n时，才有物理意义上的解

先不管它怎么证明的，这一句话实际上解释了为何前面令n和m为整数——大概是和勒让德函数的求解以及背后的物理原理有一定的联系…（实在是太高深，我已经尽力了/(ㄒoㄒ)/~~）

3.2.3 球谐函数表达式

由上面推导，可以得到面球谐函数的表达式：
{Y(θ,λ)=Pnm(cos⁡θ)cos⁡mλY(θ,λ)=Pnm(cos⁡θ)sin⁡mλ\left\{ \begin{array}{c} Y\left( \theta ,\lambda \right) =P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda\\ Y\left( \theta ,\lambda \right) =P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda\\ \end{array} \right. {Y(θ,λ)=Pnm​(cosθ)cosmλY(θ,λ)=Pnm​(cosθ)sinmλ​
对于通解，则表示为线性组合：
Y(θ,λ)=∑m=0n[anmPnm(cos⁡θ)cos⁡mλ+bnmPnm(cos⁡θ)sin⁡mλ]Y\left( \theta ,\lambda \right) =\sum_{m=0}^n{\left[ a_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda +b_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda \right]} Y(θ,λ)=m=0∑n​[anm​Pnm​(cosθ)cosmλ+bnm​Pnm​(cosθ)sinmλ]
进而给出球谐函数表达式：
{V(r,θ,λ)=∑n=0∞rn∑m=0n[anmPnm(cos⁡θ)cos⁡mλ+bnmPnm(cos⁡θ)sin⁡mλ]V(r,θ,λ)=∑n=0∞1rn+1∑m=0n[anmPnm(cos⁡θ)cos⁡mλ+bnmPnm(cos⁡θ)sin⁡mλ]\left\{ \begin{array}{c} V\left( r,\theta ,\lambda \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{r^n\sum_{m=0}^n{\left[ a_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda +b_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda \right]}}\\ \\V\left( r,\theta ,\lambda \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{r^{n+1}}\sum_{m=0}^n{\left[ a_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda +b_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda \right]}}\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​V(r,θ,λ)=∑n=0∞​rn∑m=0n​[anm​Pnm​(cosθ)cosmλ+bnm​Pnm​(cosθ)sinmλ]V(r,θ,λ)=∑n=0∞​rn+11​∑m=0n​[anm​Pnm​(cosθ)cosmλ+bnm​Pnm​(cosθ)sinmλ]​
其中我们主要关注球面以外的部分，并且考虑到函数的正则性，舍去r^n的形式而采用第二种。

上面的计算过程看起来似乎还算连贯，但其实还存在很多疑点，例如为什么球谐函数可以分离变量，为什么本征值可以这样表示，为什么这样的通解一定能满足所有情况…后来问了数院的同学，也没有搞懂，只好作罢。

接下来对勒让德函数展开讨论。

3.3 勒让德函数

勒让德函数是勒让德微分方程的一个解，等同于g(θ)。

3.3.1 表达式

令
{t=cos⁡θg(θ)=g‾(t)=Pnm(t)\large \left\{ \begin{array}{c} t=\cos \theta\\ g\left( \theta \right) =\overline{g}\left( t \right) =P_{nm}\left( t \right)\\ \end{array} \right. {t=cosθg(θ)=g​(t)=Pnm​(t)​
代入微分方程得：
Pnm(t)=12nn!(1−t2)m2dn+mdtn+m(t2−1)n\large P_{nm}\left( t \right) =\frac{1}{2^nn!}\left( 1-t^2 \right) ^{\frac{m}{2}}\frac{d^{n+m}}{dt^{n+m}}\left( t^2-1 \right) ^n Pnm​(t)=2nn!1​(1−t2)2m​dtn+mdn+m​(t2−1)n
准确地说该表达式是缔和勒让德函数。令m=0，则得到勒让德函数。

显式表达则需要将$（t^2-1)n $展开，用阶乘来表达。
Pnm(t)=12n(1−t2)m2∑k=0r(−1)k(2n−2k)!k!(n−k)!(n−m−2k)!tn−m−2kP_{nm}\left( t \right) =\frac{1}{2^n}\left( 1-t^2 \right) ^{\frac{m}{2}}\sum_{k=0}^r{\left( -1 \right) ^k\frac{\left( 2n-2k \right) !}{k!\left( n-k \right) !\left( n-m-2k \right) !}t^{n-m-2k}}Pnm​(t)=2n1​(1−t2)2m​k=0∑r​(−1)kk!(n−k)!(n−m−2k)!(2n−2k)!​tn−m−2k其中阶乘数必须为正：
r=[n−m2]r=\left[ \frac{n-m}{2} \right] r=[2n−m​]
（之前还把求导过程推过一遍，但是笔记丢失了…懒得再打一遍，反正就是那么回事）

3.3.2 正交性

（缔和）勒让德函数具有正交性。

以m=0的情况——即勒让德函数——为例，其正交性表示为：
{∫−11Pn(x)Pm(x)dx=22n+1δmnδmn={1,m=n0,m≠n\left\{ \begin{array}{c} \int\limits_{-1}^1{P_n\left( x \right) P_m\left( x \right) dx}=\frac{2}{2n+1}\delta _{mn}\\ \\ \delta _{mn}=\left\{ \begin{array}{c} 1, m=n\\ 0, m\ne n\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​−1∫1​Pn​(x)Pm​(x)dx=2n+12​δmn​δmn​={1,m=n0,m​=n​​
假设一元函数y(x)可以展开成勒让德级数：
y(x)=∑n=0∞cnPn(x)y\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{c_nP_n\left( x \right)} y(x)=n=0∑∞​cn​Pn​(x)
利用正交性求系数：
y(x)Pk(x)=∑n=0∞cnPn(x)Pk(x)⇒∫−11y(x)Pk(x)dx=∑n=0∞(∫−11cnPn(x)Pk(x)dx)⇒∫−11y(x)Pk(x)dx=ck∫−11Pk2(x)dx=22k+1ck⇒ck=2k+12∫−11y(x)Pk(x)dxy\left( x \right) P_k\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{c_nP_n\left( x \right) P_k\left( x \right)} \\ \\ \Rightarrow \int\limits_{-1}^1{y\left( x \right) P_k\left( x \right) dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( \int\limits_{-1}^1{c_nP_n\left( x \right) P_k\left( x \right) dx} \right)} \\ \\ \\ \Rightarrow \int\limits_{-1}^1{y\left( x \right) P_k\left( x \right) dx}=c_k\int\limits_{-1}^1{P_{k}^{2}\left( x \right) dx}=\frac{2}{2k+1}c_k \\ \\ \\\Rightarrow c_k=\frac{2k+1}{2}\int\limits_{-1}^1{y\left( x \right) P_k\left( x \right) dx} y(x)Pk​(x)=n=0∑∞​cn​Pn​(x)Pk​(x)⇒−1∫1​y(x)Pk​(x)dx=n=0∑∞​⎝⎛​−1∫1​cn​Pn​(x)Pk​(x)dx⎠⎞​⇒−1∫1​y(x)Pk​(x)dx=ck​−1∫1​Pk2​(x)dx=2k+12​ck​⇒ck​=22k+1​−1∫1​y(x)Pk​(x)dx

3.3.3 递推方法

从勒让德函数的显式表达可以看出，其阶乘的次数非常高，如果直接计算会相当费时，这也体现了递推的必要性。递推计算也是课程的第一次编程作业。

递推方法主要包括标准向前列、标准向前行、跨阶次、Belikov递推法。其中跨阶次递推精度最高，适用范围最广，是最好的递推方法。

具体的实验内容和源代码可以查看我发布的免费资源。这里就简单放一些我的实验报告截图：

3.4 面球谐函数

3.4.1 分类

根据m和n的大小关系，将面球谐函数分为以下几种：

带谐函数（m=0m=0m=0)

田谐函数（m<nm<nm<n)

扇谐函数（m=nm=nm=n）

以n=3为例，从左往右m=0,1,2,3。谐函数将球面划分成正负交替的区域。

可以看到带谐函数是横向划分球体，而田谐函数将球面划分成格子状，带谐函数则竖向划分。

3.4.2 正交性

将面球谐函数记作如下形式：
{Rnm(θ,λ)=Pnm(cos⁡θ)cos⁡mλSnm(θ,λ)=Pnm(cos⁡θ)sin⁡mλ\left\{ \begin{array}{c} R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) =P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda\\ \\S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) =P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​Rnm​(θ,λ)=Pnm​(cosθ)cosmλSnm​(θ,λ)=Pnm​(cosθ)sinmλ​
则有：

1. 单位球面上，任何两个不同的面球谐函数乘积的积分为0

{∬σRnm(θ,λ)Rsr(θ,λ)dσ=0∬σSnm(θ,λ)Ssr(θ,λ)dσ=0}(m,n)≠(s,r)∬σRnm(θ,λ)Ssr(θ,λ)dσ=0inanycase\left\{ \begin{array}{c} \left. \begin{array}{c} \iint\limits_{\sigma}{R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) R_{sr}\left( \theta ,\lambda \right)}d\sigma =0\\ \iint\limits_{\sigma}{S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{sr}\left( \theta ,\lambda \right)}d\sigma =0\\ \end{array} \right\} \left( m,n \right) \ne \left( s,r \right)\\ \\ \iint\limits_{\sigma}{R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{sr}\left( \theta ,\lambda \right)}d\sigma =0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, in\,\,any\,\,case\,\, \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ∬​Rnm​(θ,λ)Rsr​(θ,λ)dσ=0σ∬​Snm​(θ,λ)Ssr​(θ,λ)dσ=0​⎭⎬⎫​(m,n)​=(s,r)σ∬​Rnm​(θ,λ)Ssr​(θ,λ)dσ=0inanycase​

2. 单位球面上，两个相同的面球谐函数乘积的积分为：

∬σRnm(θ,λ)Rnm(θ,λ)dσ=∬σSnm(θ,λ)Snm(θ,λ)dσ={2π2n+1(n+m)!(n−m)!,m≠04π2n+1,m=0\iint\limits_{\sigma}{R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right)}d\sigma =\iint\limits_{\sigma}{S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right)}d\sigma =\left\{ \begin{array}{c} \frac{2\pi}{2n+1}\frac{\left( n+m \right) !}{\left( n-m \right) !}\,\, ,m\ne 0\\\\ \frac{4\pi}{2n+1}\,\, ,m=0\\ \end{array} \right. σ∬​Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ,λ)dσ=σ∬​Snm​(θ,λ)Snm​(θ,λ)dσ=⎩⎨⎧​2n+12π​(n−m)!(n+m)!​,m​=02n+14π​,m=0​

3.4.3 完全正规化球谐函数

完全正规化，实际上就是让相同的面球谐函数乘积的积分为4π，也就是在球面上均值为1。

因此其改正其实就是上面公式的逆推，使得其积分为4π（包括m=0时）。

正规化的好处在于统一了m=0和m≠0的情况。
R‾nm(θ,λ)={2(2n+1)(n−m)!(n+m)!Rnm(θ,λ),m≠02n+1Rnm(θ,λ),m=0\overline{R}_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) =\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{2\left( 2n+1 \right) \frac{\left( n-m \right) !}{\left( n+m \right) !}}R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \,\,, m\ne 0\\ \\ \sqrt{2n+1}R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \,\,, m=0\\ \end{array} \right. Rnm​(θ,λ)=⎩⎪⎨⎪⎧​2(2n+1)(n+m)!(n−m)!​​Rnm​(θ,λ),m​=02n+1​Rnm​(θ,λ),m=0​

3.5 距离倒数的展开式

距离倒数的展开式是引力场展开为球谐函数的基本公式。这一部分书上和PPT其实都省去了很多重要的计算过程，暂时没有时间去深究，这里结合PPT和书梳理几个基本公式的关系。

首先利用球坐标表示两点：
P(r,θ,λ),P′(r′,θ′,λ)P\left( r,\theta ,\lambda \right) , P'\left( r',\theta ',\lambda \right) P(r,θ,λ),P′(r′,θ′,λ)设两点与原点连线的夹角为ψ，如图所示：

由余弦定理
l2=r2+r′2−2rr′cos⁡ψl^2=r^2+r'^2-2rr'\cos \psi l2=r2+r′2−2rr′cosψ又因为ψ是两个矢量夹角，可以通过转换到直角坐标系后，计算矢量乘积得到其余弦值
rθλ:(1,θ,λ),(1,θ′,λ′)⇒xyz:(sin⁡θcos⁡λ,sin⁡θsin⁡λ,cos⁡θ),(sin⁡θ′cos⁡λ′,sin⁡θ′sin⁡λ′,cos⁡θ′)⇒cos⁡ψ=sin⁡θcos⁡λ⋅sin⁡θ′cos⁡λ′+sin⁡θsin⁡λ⋅sin⁡θ′sin⁡λ′+cos⁡θcos⁡θ′1⋅1=sin⁡θsin⁡θ′(cos⁡λcos⁡λ′+sin⁡λsin⁡λ′)+cos⁡θcos⁡θ′=sin⁡θsin⁡θ′cos⁡(λ−λ′)+cos⁡θcos⁡θ′r\theta \lambda : \left( 1,\theta ,\lambda \right) , \left( 1,\theta ',\lambda ' \right) \\ \Rightarrow xyz: \left( \sin \theta \cos \lambda ,\sin \theta \sin \lambda ,\cos \theta \right) , \left( \sin \theta '\cos \lambda ',\sin \theta '\sin \lambda ',\cos \theta ' \right) \\ \\ \Rightarrow \cos \psi =\frac{\sin \theta \cos \lambda \cdot \sin \theta '\cos \lambda '+\sin \theta \sin \lambda \cdot \sin \theta '\sin \lambda '+\cos \theta \cos \theta '}{1\cdot 1} \\ \\ =\sin \theta \sin \theta '\left( \cos \lambda \cos \lambda '+\sin \lambda \sin \lambda ' \right) +\cos \theta \cos \theta ' \\ =\sin \theta \sin \theta '\cos \left( \lambda -\lambda ' \right) +\cos \theta \cos \theta ' rθλ:(1,θ,λ),(1,θ′,λ′)⇒xyz:(sinθcosλ,sinθsinλ,cosθ),(sinθ′cosλ′,sinθ′sinλ′,cosθ′)⇒cosψ=1⋅1sinθcosλ⋅sinθ′cosλ′+sinθsinλ⋅sinθ′sinλ′+cosθcosθ′​=sinθsinθ′(cosλcosλ′+sinλsinλ′)+cosθcosθ′=sinθsinθ′cos(λ−λ′)+cosθcosθ′
这里直接给出分解公式：
Pn(cos⁡ψ)=Pn(cos⁡θ)Pn(cos⁡θ′)+2∑m=1n(n−m)!(n+m)![Rnm(θ,λ)Rnm(θ′,λ′)+Snm(θ,λ)Snm(θ′,λ′)]P_{n}\left( \cos \psi \right) \\ =P_{n}\left( \cos \theta \right) P_{n}\left( \cos \theta ' \right) +2\sum_{m=1}^n{\frac{\left( n-m \right) !}{\left( n+m \right) !}\left[ R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) R_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) +S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) \right]} Pn​(cosψ)=Pn​(cosθ)Pn​(cosθ′)+2m=1∑n​(n+m)!(n−m)!​[Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ′,λ′)+Snm​(θ,λ)Snm​(θ′,λ′)]
若使用完全正规化谐函数，则有：
Pn(cos⁡ψ)=12n+1∑m=1n[R‾nm(θ,λ)R‾nm(θ′,λ′)+S‾nm(θ,λ)S‾nm(θ′,λ′)]P_{n}\left( \cos \psi \right) =\frac{1}{2n+1}\sum_{m=1}^n{\left[ \overline{R}_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \overline{R}_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) +\overline{S}_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \overline{S}_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) \right]} Pn​(cosψ)=2n+11​m=1∑n​[Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ′,λ′)+Snm​(θ,λ)Snm​(θ′,λ′)]
对距离倒数进行展开：
1l=∑n=0∞r′nrn+1Pn(cos⁡ψ)\frac{1}{l}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{r'^n}{r^{n+1}}P_n\left( \cos \psi \right)} l1​=n=0∑∞​rn+1r′n​Pn​(cosψ)
这个公式的形式很容易理解，因为 r，r′，lr，r'，lr，r′，l 三个数相近，采用这样的形式可以使得左右数量级一致。

将分解公式代入得到完整展开式：
1l=∑n=0∞r′nrn+112n+1∑m=1n[R‾nm(θ,λ)R‾nm(θ′,λ′)+S‾nm(θ,λ)S‾nm(θ′,λ′)]\frac{1}{l}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{r'^n}{r^{n+1}}\frac{1}{2n+1}\sum_{m=1}^n{\left[ \overline{R}_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \overline{R}_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) +\overline{S}_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) \overline{S}_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) \right]}}l1​=n=0∑∞​rn+1r′n​2n+11​m=1∑n​[Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ′,λ′)+Snm​(θ,λ)Snm​(θ′,λ′)]
这一函数被称为母函数。

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