▓ 第十一次作业各个小题参考答案：

2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第五小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第七小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第八小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第九小题

§01 第一小题

1.求出下面两个函数的拉普拉斯变换：

提示：
单个锯齿脉冲的LT变换：
f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]f_1 \left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right]f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]F1(s)=∫0t(1−t)⋅e−stdt=e−s+s−1s2F_1 \left( s \right) = \int_0^t {\left( {1 - t} \right) \cdot e^{ - st} dt} = {{e^{ - s} + s - 1} \over {s^2 }}F1(s)=∫0t(1−t)⋅e−stdt=s2e−s+s−1

§02 第二小题

2.求下列函数的拉普拉斯变换：

（1）

(1−e−at)⋅u(t)\left( {1 - e^{ - at} } \right) \cdot u\left( t \right)(1−e−at)⋅u(t)

（2）

(sin⁡t+2cos⁡t)⋅u(t)\left( {\sin t + 2\cos t} \right) \cdot u\left( t \right)(sint+2cost)⋅u(t)

（3）

t⋅e−2t⋅u(t)t \cdot e^{ - 2t} \cdot u\left( t \right)t⋅e−2t⋅u(t)

（4）

e−tu(t−2)e^{ - t} u\left( {t - 2} \right)e−tu(t−2)

§03 第三小题

3 已知下列X(s)X\left( s \right)X(s)，求各自的拉普拉斯反变换的初值和终值。

（1）

s+3(s+4)(s+5){{s + 3} \over {\left( {s + 4} \right)\left( {s + 5} \right)}}(s+4)(s+5)s+3

（2）

2s2+2s+3(s+1)(s2+4){{2s^2 + 2s + 3} \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s^2 + 4} \right)}}(s+1)(s2+4)2s2+2s+3

（3）

s+4(s+1)2(s+2){{s + 4} \over {\left( {s + 1} \right)^2 \left( {s + 2} \right)}}(s+1)2(s+2)s+4

（4）

e−ss2(s−2)4{{e^{ - s} } \over {s^2 \left( {s - 2} \right)^4 }}s2(s−2)4e−s

提示：应用终值定理需要注意到定理的应用条件。参考 §5.5.5

§04 第四小题

4. 以及因果序列的zzz变换X(z)X\left( z \right)X(z)，求序列的初值x[0]x\left[ 0 \right]x[0],与终止x[∞]x\left[ \infty \right]x[∞]。

（1）

X(z)=1+z−1+z−2(1−z−1)⋅(1−2z−1)X\left( z \right) = {{1 + z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {\left( {1 - z^{ - 1} } \right) \cdot \left( {1 - 2z^{ - 1} } \right)}}X(z)=(1−z−1)⋅(1−2z−1)1+z−1+z−2

（2）

X(z)=1(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)X\left( z \right) = {1 \over {\left( {1 - 0.5z^{ - 1} } \right)\left( {1 + 0.5z^{ - 1} } \right)}}X(z)=(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)1

（3）

X(z)=z−11−1.5z−1+0.5z−2X\left( z \right) = {{z^{ - 1} } \over {1 - 1.5z^{ - 1} + 0.5z^{ - 2} }}X(z)=1−1.5z−1+0.5z−2z−1

（4）

X(z)=z4(z−1)(z−0.5)(z−0.2)X\left( z \right) = {{z^4 } \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 0.5} \right)\left( {z - 0.2} \right)}}X(z)=(z−1)(z−0.5)(z−0.2)z4

§05 第五小题

5. 利用 ZZZ 变换的性质求以下序列的 ZZZ 变换，标明收敛域。

（1）

x1[n]=(−2)nn⋅u[n]x_1 \left[ n \right] = \left( { - 2} \right)^n n \cdot u\left[ n \right]x1[n]=(−2)nn⋅u[n]

（2）

x2[n]=(n−1)⋅u[n]x_2 \left[ n \right] = \left( {n - 1} \right)^{} \cdot u\left[ n \right]x2[n]=(n−1)⋅u[n]

（3）

x3[n]=nan−1⋅u[n]x_3 \left[ n \right] = na^{n - 1} \cdot u\left[ n \right]x3[n]=nan−1⋅u[n]

（4）

x4[n]=2n⋅∑k=0∞(−2)k⋅u[n−k]x_4 \left[ n \right] = 2^n \cdot \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 2} \right)^k \cdot u\left[ {n - k} \right]}x4[n]=2n⋅k=0∑∞(−2)k⋅u[n−k]

（5）

x5[n]=ann+2⋅u[n+1]x_5 \left[ n \right] = {{a^n } \over {n + 2}} \cdot u\left[ {n + 1} \right]x5[n]=n+2an⋅u[n+1]

（6）

x6[n]=(13)n.cos⁡(nπ2)⋅u[n]x_6 \left[ n \right] = \left( {{1 \over 3}} \right)^n .\cos \left( {{{n\pi } \over 2}} \right) \cdot u\left[ n \right]x6[n]=(31)n.cos(2nπ)⋅u[n]

§06 第六小题

6. 利用 ZZZ 变换的性质求以下序列的卷积，已知：

（1）

x[n]=an−1⋅u[n−1],h[n]=u[n]x\left[ n \right] = a^{n - 1} \cdot u\left[ {n - 1} \right],\,\,h\left[ n \right] = u\left[ n \right]x[n]=an−1⋅u[n−1],h[n]=u[n]

（2）

x[n]=2u[n−1],h[n]=∑k=0∞(−1)kδ[n−k]x\left[ n \right] = 2u\left[ {n - 1} \right],\,\,\,h\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \delta \left[ {n - k} \right]}x[n]=2u[n−1],h[n]=k=0∑∞(−1)kδ[n−k]

提示：应用Z变换的卷积定理

§07 第七小题

7. 已知 X(z)X\left( z \right)X(z) 和 H(z)H\left( z \right)H(z) 如下式所示，用 zzz 域卷积定理求ZT{x[n]⋅h[n]}ZT\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\}ZT{x[n]⋅h[n]}.

（1）

X(z)=11−12z−1,∣z∣>0.5;H(z)=11−2z,∣z∣<0.5X\left( z \right) = {1 \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > 0.5;\,\,\,\,H\left( z \right) = {1 \over {1 - 2z}},\,\,\left| z \right| < 0.5X(z)=1−21z−11,∣z∣>0.5;H(z)=1−2z1,∣z∣<0.5

（2）

X(z)=zz−e−b,∣z∣>e−b;H(z)=z⋅sin⁡ω0z2−2zcos⁡ω0+1,∣z∣>1X\left( z \right) = {z \over {z - e^{ - b} }},\,\,\left| z \right| > e^{ - b} ;\;\;\;H\left( z \right) = {{z \cdot \sin \omega _0 } \over {z^2 - 2z\cos \omega _0 + 1}},\,\,\left| z \right| > 1X(z)=z−e−bz,∣z∣>e−b;H(z)=z2−2zcosω0+1z⋅sinω0,∣z∣>1

提示：应用Z变换的卷积定理

§08 第八小题

8. 已知 ZT{x[n]}=X(z)ZT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right)ZT{x[n]}=X(z)，试证明：

.
Z[∑k=−∞nx(k)]=zz−1X(z)Z\left[ {\sum\limits_{k = - \infty }^n {x\left( k \right)} } \right] = {z \over {z - 1}}X\left( z \right)\;\;\;\;\;Z[k=−∞∑nx(k)]=z−1zX(z)

提示：x[n]x\left[ n \right]x[n]的累加等于x[n]x\left[ n \right]x[n]与u[n]u\left[ n \right]u[n]的卷积。

§09 第九小题

9. 已知：ZT{x[n]}=X(z)ZT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right)ZT{x[n]}=X(z)

并且：

求：x1[n],x2[n]x_1 \left[ n \right],x_2 \left[ n \right]x1[n],x2[n]的 zzz 变换。

提示：

x1[n]x_1 \left[ n \right]x1[n]的变换直接在定义的基础上使用变量替换即可。

x2[n]x_2 \left[ n \right]x2[n]的变换需要应用到如下的一个公式表示对于序列的抽取：

如果还遇到困难，就相互讨论一下吧。

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