▓ 第十一次作业各个小题参考答案

§02 第二小题

2.求下列函数的拉普拉斯变换：

（1）

(1−e−at)⋅u(t)\left( {1 - e^{ - at} } \right) \cdot u\left( t \right)(1−e−at)⋅u(t)

（2）

(sin⁡t+2cos⁡t)⋅u(t)\left( {\sin t + 2\cos t} \right) \cdot u\left( t \right)(sint+2cost)⋅u(t)

（3）

t⋅e−2t⋅u(t)t \cdot e^{ - 2t} \cdot u\left( t \right)t⋅e−2t⋅u(t)

（4）

e−tu(t−2)e^{ - t} u\left( {t - 2} \right)e−tu(t−2)

▓ 求解：

这里给出了完整版本的答案：

（1）解答： L[1−e−at]=L[1]−L[e−at]=1s−1s+aL\left[ {1 - e^{ - at} } \right] = L\left[ 1 \right] - L\left[ {e^{ - at} } \right] = {1 \over s} - {1 \over {s + a}}L[1−e−at]=L[1]−L[e−at]=s1−s+a1

>>laplace(1-exp(-a*t))'
ans=1/s-1/(a+s)

（2） 解答：L[sin⁡t+2cos⁡t]=2ss2+1+1s2+1=2s+1s2+1L\left[ {\sin t + 2\cos t} \right] = {{2s} \over {s^2 + 1}} + {1 \over {s^2 + 1}} = {{2s + 1} \over {s^2 + 1}}L[sint+2cost]=s2+12s+s2+11=s2+12s+1

>>laplace(sin(t)+2*cos(t))'
ans=(2*s)/(s^2 +1)+1/(s^2 +1)

（3）解答： L[t⋅e−2t]=−ddsL[e−2t]=−dds(1s+2)=1(s+2)2L\left[ {t \cdot e^{ - 2t} } \right] = - {d \over {ds}}L\left[ {e^{ - 2t} } \right] = - {d \over {ds}}\left( {{1 \over {s + 2}}} \right) = {1 \over {\left( {s + 2} \right)^2 }}L[t⋅e−2t]=−dsdL[e−2t]=−dsd(s+21)=(s+2)21

>>laplace(t*exp(-2*t))'
ans=1/(s+2)^2

（4）解答：
L[e−t⋅u(t−2)]=e−2L[e−(t−2)⋅u(t−2)]=e−2⋅e−2s⋅1s+1L\left[ {e^{ - t} \cdot u\left( {t - 2} \right)} \right] = e^{ - 2} L\left[ {e^{ - \left( {t - 2} \right)} \cdot u\left( {t - 2} \right)} \right] = e^{ - 2} \cdot e^{ - 2s} \cdot {1 \over {s + 1}}L[e−t⋅u(t−2)]=e−2L[e−(t−2)⋅u(t−2)]=e−2⋅e−2s⋅s+11

>>laplace(exp(-t)*heaviside(t-2))'
ans=(exp(-2*s)*exp(-2))/(s+1)

（5）解答： L[e−t⋅sin⁡(2t)]=L[sin⁡(2t)]∣s→s+1=2(s2+4)∣s→s+1=2(s+1)2+4L\left[ {e^{ - t} \cdot \sin \left( {2t} \right)} \right] = \left. {L\left[ {\sin \left( {2t} \right)} \right]} \right|_{s \to s + 1} = \left. {{2 \over {\left( {s^2 + 4} \right)}}} \right|_{s \to s + 1} = {2 \over {\left( {s + 1} \right)^2 + 4}}L[e−t⋅sin(2t)]=L[sin(2t)]∣s→s+1=(s2+4)2∣∣∣∣s→s+1=(s+1)2+42

>>laplace(exp(-t)*sin(2*t))'
ans=2/((s+1)^2 +4)

（6）解答： L[(1+2t)⋅e−t]=L[1+2t]∣s→s+1=(1s+2s2)∣s→s+1=1s+1+2(s+1)2L\left[ {\left( {1 + 2t} \right) \cdot e^{ - t} } \right] = \left. {L\left[ {1 + 2t} \right]} \right|_{s \to s + 1} = \left. {\left( {{1 \over s} + {2 \over {s^2 }}} \right)} \right|_{s \to s + 1} = {1 \over {s + 1}} + {2 \over {\left( {s + 1} \right)^2 }}L[(1+2t)⋅e−t]=L[1+2t]∣s→s+1=(s1+s22)∣∣∣∣s→s+1=s+11+(s+1)22

>>laplace((1+2*t)*exp(-t))'
ans=(2*(s/2 +3/2))/(s+1)^2

（7）解答： L[cos⁡(at)]=ss2+a2L\left[ {\cos \left( {at} \right)} \right] = {s \over {s^2 + a^2 }}L[cos(at)]=s2+a2s
L{[1−cos⁡(at)]⋅e−bt}=L[1−cos⁡(at)]∣s→s+b=1s+b−s+b(s+b)2+a2L\left\{ {\left[ {1 - \cos \left( {at} \right)} \right] \cdot e^{ - bt} } \right\} = \left. {L\left[ {1 - \cos \left( {at} \right)} \right]} \right|_{s \to s + b} = {1 \over {s + b}} - {{s + b} \over {\left( {s + b} \right)^2 + a^2 }}L{[1−cos(at)]⋅e−bt}=L[1−cos(at)]∣s→s+b=s+b1−(s+b)2+a2s+b

>>laplace(cos(a*t))'
ans=s/(a^2 +s^2)

>>laplace((1-cos(a*t))*exp(-b*t))'
ans=1/(b+s)-(b+s)/((b+s)^2 +a^2)

（8）解答： L[t2+2t]=2s2+2s3L\left[ {t^2 + 2t} \right] = {2 \over {s^2 }} + {2 \over {s^3 }}L[t2+2t]=s22+s32

>>laplace(t*t+2*t)'
ans=2/s^2 +2/s^3

（9）解答： L[2δ(t)−3e−7t]=2−3s+7L\left[ {2\delta \left( t \right) - 3e^{ - 7t} } \right] = 2 - {3 \over {s + 7}}L[2δ(t)−3e−7t]=2−s+73

>>laplace(2*dirac(t)-3*exp(-7*t))'
ans=2 -3/(s+7)

（10）解答： L[e−at⋅sin⁡(bt)]=b(s+a)2+b2L\left[ {e^{ - at} \cdot \sin \left( {bt} \right)} \right] = {b \over {\left( {s + a} \right)^2 + b^2 }}L[e−at⋅sin(bt)]=(s+a)2+b2b

>>laplace(exp(-a*t)*sin(b*t))'
ans=b/((a+s)^2 +b^2)

（11）解答：cos⁡2(Ωt)=12[1+cos⁡(2Ωt)]\cos ^2 \left( {\Omega t} \right) = {1 \over 2}\left[ {1 + \cos \left( {2\Omega t} \right)} \right]cos2(Ωt)=21[1+cos(2Ωt)]

L[cos⁡2(Ωt)]=L[12(1+cos⁡(2Ωt))]=s2+2Ω2s(s2+4Ω2)L\left[ {\cos ^2 \left( {\Omega t} \right)} \right] = L\left[ {{1 \over 2}\left( {1 + \cos \left( {2\Omega t} \right)} \right)} \right] = {{s^2 + 2\Omega ^2 } \over {s\left( {s^2 + 4\Omega ^2 } \right)}}L[cos2(Ωt)]=L[21(1+cos(2Ωt))]=s(s2+4Ω2)s2+2Ω2

>>laplace(cos(w*t).^2)'
ans=(s^2 +2*w^2)/(s*(s^2 +4*w^2))

（12）解答： L[e−(t+a)⋅cos⁡(ωt)]=e−a{L[e−t⋅cos⁡(ωt)]}=e−a⋅L[cos⁡(ωt)]∣s→s+1=e−a⋅(s+1)(s+1)2+ω2L\left[ {e^{ - \left( {t + a} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)} \right] = e^{ - a} \left\{ {L\left[ {e^{ - t} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)} \right]} \right\} = e^{ - a} \cdot \left. {L\left[ {\cos \left( {\omega t} \right)} \right]} \right|_{s \to s + 1} = {{e^{ - a} \cdot \left( {s + 1} \right)} \over {\left( {s + 1} \right)^2 + \omega ^2 }}L[e−(t+a)⋅cos(ωt)]=e−a{L[e−t⋅cos(ωt)]}=e−a⋅L[cos(ωt)]∣s→s+1=(s+1)2+ω2e−a⋅(s+1)

>>laplace(exp(-(t+a))*cos(w*t))'
ans=(s+1)/(exp(a)*s^2 +2*exp(a)*s+exp(a)*w^2 +exp(a))

（13）解答： L[1b−a(e−at−ebt)]=1s+a−1s−bb−a=a+ba−bs2+(a−b)s−abL\left[ {{1 \over {b - a}}\left( {e^{ - at} - e^{bt} } \right)} \right] = {{{1 \over {s + a}} - {1 \over {s - b}}} \over {b - a}} = {{{{a + b} \over {a - b}}} \over {s^2 + \left( {a - b} \right)s - ab}}L[b−a1(e−at−ebt)]=b−as+a1−s−b1=s2+(a−b)s−aba−ba+b

>>laplace((exp(-a*t)-exp(b*t))/(b-a))'
ans=-(1/(a+s)+1/(b-s))/(a-b)

（14）解答： L[1b−a(e−at−e−bt)]=1s+a−1s+bb−a=1(s+a)(s+b)L\left[ {{1 \over {b - a}}\left( {e^{ - at} - e^{ - bt} } \right)} \right] = {{{1 \over {s + a}} - {1 \over {s + b}}} \over {b - a}} = {1 \over {\left( {s + a} \right)\left( {s + b} \right)}}L[b−a1(e−at−e−bt)]=b−as+a1−s+b1=(s+a)(s+b)1

>>laplace((exp(-a*t)-exp(-b*t))/(b-a))'
ans=-(1/(a+s)-1/(b+s))/(a-b)

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