▓ 第十一次作业各个小题参考答案

§01 第一小题

1.求出下面两个函数的拉普拉斯变换：

提示：
单个锯齿脉冲的LT变换：
f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]f_1 \left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right]f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]F1(s)=∫0t(1−t)⋅e−stdt=e−s+s−1s2F_1 \left( s \right) = \int_0^t {\left( {1 - t} \right) \cdot e^{ - st} dt} = {{e^{ - s} + s - 1} \over {s^2 }}F1(s)=∫0t(1−t)⋅e−stdt=s2e−s+s−1

▓ 求解：

（a）求解：
f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]f_1 \left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left[ {u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right]f1(t)=(1−t)[u(t)−u(t−1)]F1(s)=∫01(1−t)⋅e−stdt=e−s+s−1s2F_1 \left( s \right) = \int_0^1 {\left( {1 - t} \right) \cdot e^{ - st} dt} = {{e^{ - s} + s - 1} \over {s^2 }}F1(s)=∫01(1−t)⋅e−stdt=s2e−s+s−1F(s)=F1(s)1−e−s=e−s+s−1(1−e−s)⋅s2=−1s2+1s(1−e−s)F\left( s \right) = {{F_1 \left( s \right)} \over {1 - e^{ - s} }} = {{e^{ - s} + s - 1} \over {\left( {1 - e^{ - s} } \right) \cdot s^2 }} = - {1 \over {s^2 }} + {1 \over {s\left( {1 - e^{ - s} } \right)}}F(s)=1−e−sF1(s)=(1−e−s)⋅s2e−s+s−1=−s21+s(1−e−s)1

（b）求解：
f1(t)=δ(t)−δ(t−12)f_1 \left( t \right) = \delta \left( t \right) - \delta \left( {t - {1 \over 2}} \right)f1(t)=δ(t)−δ(t−21)F1(s)=∫01f1(t)e−stdt=1−e−12sF_1 \left( s \right) = \int_0^1 {f_1 \left( t \right)e^{ - st} dt} = 1 - e^{ - {1 \over 2}s}F1(s)=∫01f1(t)e−stdt=1−e−21sF(s)=F1(s)1−e−s=1−e−12s1−e−s=11+e−s2F\left( s \right) = {{F_1 \left( s \right)} \over {1 - e^{ - s} }} = {{1 - e^{ - {1 \over 2}s} } \over {1 - e^{ - s} }} = {1 \over {1 + e^{ - {s \over 2}} }}F(s)=1−e−sF1(s)=1−e−s1−e−21s=1+e−2s1

>>laplace((1-t)*(heaviside(t)-heaviside(t-1)))'
ans=(exp(-s)*(s*exp(s)-exp(s)+1))/s^2

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