2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第七小题
▓ 第十一次作业各个小题参考答案
§07 第七小题
7. 已知 X(z)X\left( z \right)X(z) 和 H(z)H\left( z \right)H(z) 如下式所示， 用 zzz 域卷积定理求ZT{x[n]⋅h[n]}ZT\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\}ZT{x[n]⋅h[n]}.
（1）
X(z)=11−12z−1,∣z∣>0.5;H(z)=11−2z,∣z∣<0.5X\left( z \right) = {1 \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > 0.5;\,\,\,\,H\left( z \right) = {1 \over {1 - 2z}},\,\,\left| z \right| < 0.5X(z)=1−21z−11,∣z∣>0.5;H(z)=1−2z1,∣z∣<0.5
（2）
X(z)=zz−e−b,∣z∣>e−b;H(z)=z⋅sinω0z2−2zcosω0+1,∣z∣>1X\left( z \right) = {z \over {z - e^{ - b} }},\,\,\left| z \right| > e^{ - b} ;\;\;\;H\left( z \right) = {{z \cdot \sin \omega _0 } \over {z^2 - 2z\cos \omega _0 + 1}},\,\,\left| z \right| > 1X(z)=z−e−bz,∣z∣>e−b;H(z)=z2−2zcosω0+1z⋅sinω0,∣z∣>1
提示：应用Z变换的卷积定理
▓ 求解：
（1）解答：
Z{x[n]⋅h[n]}=12πj⋅∮CX(v)⋅H(zv)⋅v−1dvZ\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} = {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {X\left( v \right) \cdot H\left( {{z \over v}} \right) \cdot v^{ - 1} dv}Z{x[n]⋅h[n]}=2πj1⋅∮CX(v)⋅H(vz)⋅v−1dv=12πj⋅∮C11−12v−1⋅11−2zvv−1dv= {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {{1 \over {1 - {1 \over 2}v^{ - 1} }} \cdot {1 \over {1 - 2{z \over v}}}v^{ - 1} dv}=2πj1⋅∮C1−21v−11⋅1−2vz1v−1dv=12πj⋅∮Cv(v−12)(v−2z)dv= {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {{v \over {\left( {v - {1 \over 2}} \right)\left( {v - 2z} \right)}}dv}=2πj1⋅∮C(v−21)(v−2z)vdv
根据X(z),H(z)X\left( z \right),H\left( z \right)X(z),H(z)的收敛域，可知：∣v∣>0.5,∣zv∣<0.5\left| v \right| > 0.5,\,\,\,\left| {{z \over v}} \right| < 0.5∣v∣>0.5,∣∣vz∣∣<0.5。
所以上述积分函数包含的极点为：12,2z{1 \over 2},\,\,2z21,2z。
Z{x[n]⋅h[n]}=Res[v(v−12)(v−2z)]v=12+Res[v(v−12)(v−2z)]v=2z=1Z\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {{v \over {\left( {v - {1 \over 2}} \right)\left( {v - 2z} \right)}}} \right]_{v = {1 \over 2}} + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {{v \over {\left( {v - {1 \over 2}} \right)\left( {v - 2z} \right)}}} \right]_{v = 2z} = 1Z{x[n]⋅h[n]}=Res[(v−21)(v−2z)v]v=21+Res[(v−21)(v−2z)v]v=2z=1
所以x[n]⋅h[n]=δ[n]x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right] = \delta \left[ n \right]x[n]⋅h[n]=δ[n]
（2）解答：
Z{x[n]⋅h[n]}=12πj⋅∮CX(v)⋅H(zv)⋅v−1dvZ\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} = {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {X\left( v \right) \cdot H\left( {{z \over v}} \right) \cdot v^{ - 1} dv}Z{x[n]⋅h[n]}=2πj1⋅∮CX(v)⋅H(vz)⋅v−1dv=12πj⋅∮Cvv−e−b⋅zv⋅sinω0(zv)2−2(zv)cosω0+1⋅v−1dv= {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {{v \over {v - e^{ - b} }} \cdot {{{z \over v} \cdot \sin \omega _0 } \over {\left( {{z \over v}} \right)^2 - 2\left( {{z \over v}} \right)\cos \omega _0 + 1}} \cdot v^{ - 1} dv}=2πj1⋅∮Cv−e−bv⋅(vz)2−2(vz)cosω0+1vz⋅sinω0⋅v−1dv=12πj⋅∮C2sinω0v(v−e−b)(v2−2zcos0v+z2)dv= {1 \over {2\pi j}} \cdot \oint_C {{{2\sin \omega _0 v} \over {\left( {v - e^{ - b} } \right)\left( {v^2 - 2z\cos _0 v + z^2 } \right)}}dv}=2πj1⋅∮C(v−e−b)(v2−2zcos0v+z2)2sinω0vdv
根据X(z),H(z)X\left( z \right),H\left( z \right)X(z),H(z)的收敛域，可得：∣v∣>e−b,∣v∣<∣z∣\left| v \right| > e^{ - b} ,\,\,\left| v \right| < \left| z \right|∣v∣>e−b,∣v∣<∣z∣
所以上述围线积分包含的极点为：e−be^{ - b}e−b。
Z{x[n]⋅h[n]}=Res[2sinω0v(v−e−b)(v2−2zcosω0v+z2)]v=e−b=z⋅sinω0⋅e−be−2b−2e−bcosω0z+z2Z\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {{{2\sin \omega _0 v} \over {\left( {v - e^{ - b} } \right)\left( {v^2 - 2z\cos \omega _0 v + z^2 } \right)}}} \right]_{v = e^{ - b} } = {{z \cdot \sin \omega _0 \cdot e^{ - b} } \over {e^{ - 2b} - 2e^{ - b} \cos \omega _0 z + z^2 }}Z{x[n]⋅h[n]}=Res[(v−e−b)(v2−2zcosω0v+z2)2sinω0v]v=e−b=e−2b−2e−bcosω0z+z2z⋅sinω0⋅e−b
因此：
x[n]⋅h[n]=e−nbcosω0n⋅u[n]x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right] = e^{ - nb} \cos \omega _0 n \cdot u\left[ n \right]x[n]⋅h[n]=e−nbcosω0n⋅u[n]
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