一、单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换

SFT[δ(n)]=∑n=−∞+∞δ(n)e−jωn=1SFT[ \delta (n) ]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(n) e^{-j \omega n} = 1SFT[δ(n)]=n=−∞∑+∞δ(n)e−jωn=1

二、{1} 序列傅里叶变换

SFT[1]=X(ejω)=∑n=−∞+∞e−jωn=2πδ~(ω)SFT[1] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )SFT[1]=X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn=2πδ(ω)

δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以 2π2 \pi2π 为周期的 , δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 可以写成如下式子 :

δ~(ω)=∑m=−∞∞δ(ω−2πm)\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )δ(ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)

mmm 取值 (−∞,+∞)(-\infty , +\infty)(−∞,+∞) ;

三、e^jωn 傅里叶变换

SFT[ejω0n]=∑n=−∞+∞e−j(ω−ω0)=2πδ~(ω−ω0)SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ(ω−ω0)

四、cosωn 傅里叶变换

SFT[cos⁡ω0n]=π(δ~(ω−ω0)+δ~(ω+ω0))SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) )SFT[cosω0n]=π(δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0))

五、sinωn 傅里叶变换

SFT[sin⁡ω0n]=π[δ~(ω−ω0)−δ~(ω+ω0)]iSFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi [\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )] }{i}SFT[sinω0n]=iπ[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]

六、a^nu(n) 傅里叶变换

SFT[anu(n)]=X(ejω)=11−ae−jωSFT[a^nu(n)] = X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}SFT[anu(n)]=X(ejω)=1−ae−jω1

七、矩形窗函数 R_N(n) 傅里叶变换

SFT[RN(n)]=X(ejω)=e−jωN−12sin⁡(ωN2)sin⁡(ω2)SFT[R_N(n)] = X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}SFT[RN(n)]=X(ejω)=e−jω2N−1sin(2ω)sin(2ωN)

SFT[RN(n)]=Nω=0SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0SFT[RN(n)]=N ω=0

SFT[RN(n)]=0ω=2πkN,k=±1,±2,⋯SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdotsSFT[RN(n)]=0 ω=N2πk,k=±1,±2,⋯

【数字信号处理】基本序列傅里叶变换总结 ( 单位脉冲序列 δ(n) | {1} 序列 | e^jωn 序列 | cosωn 序列 | sinωn 序列 | a^nu(n) | 矩形窗函数 ) ★★★相关推荐

数字信号处理之快速傅里叶变换 2021-10-24
数字信号处理第三章快速傅里叶变换数字信号处理前言一.概述二.时间抽取基2的FFT算法和频域抽取基2的FFT算法三.分裂基FFT算法四.线性调频Z变换(CZT) 五.离散时间系统的相位. ...
数字信号处理基础----快速傅里叶变换
1 旋转矢量在前面曾多次提到了旋转矢量,也就是在单位圆上旋转的一个复指数信号.旋转的方向为逆时针,旋转的角速度Ω=2π/N,N为旋转矢量的周期. 现在若使旋转的方向相反,则可以得到顺时针旋转 ...
数字信号处理 --- 用离散傅里叶变换(循环卷积)实现线性卷积（个人学习笔记）
时域的循环卷积等于频域的离散傅里叶变换,离散傅里叶变换DFT是离散傅里叶级数DFS的一个周期,离散傅里叶级数DFS是对连续时间傅里叶变换CTFT的采样离散傅里叶级数DFS 周期为10的方波信号的傅里 ...
数字信号处理(五)快速傅里叶变换
文章目录 FFT的由来降低运算量的途径基2FFT算法时域抽取基2FFT算法第一次分解第二次分解蝶形运算 DIT-FFT与直接计算DFT运算量比较频域抽取基2FFT算法 IDFT的快速算法 ...
数字信号处理2：傅里叶变换
文章目录一.傅里叶变换存在的理论基础二.周期信号的傅里叶级数推导三.连续非周期信号的傅里叶变换推导四.离散非周期信号的傅里叶变换(DFT)推导五.相位六.通俗理解傅里叶变换七.DFT的代 ...
【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换 )
文章目录一.单位脉冲序列傅里叶变换一.单位脉冲序列傅里叶变换求单位脉冲序列 δ(n)\delta (n)δ(n) 的傅里叶变换 : 傅里叶变换公式 : 根据 x(n)x(n)x(n) 序列 ...
【数字信号处理】基本序列 ( 基本序列列举 | 单位脉冲序列 | 单位脉冲函数 | 离散单位脉冲函数 | 单位脉冲函数与离散单位脉冲函数的区别 )
文章目录一.基本序列列举二.单位脉冲序列 1.单位脉冲函数 2.离散单位脉冲函数 3.单位脉冲函数与离散单位脉冲函数的区别一.基本序列列举基本序列有单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列 ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明共轭对称序列 x_e(n) 的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部 )
文章目录一.前置公式定理 1.相关元素说明 x(n) 分解为实部序列与虚部序列 x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 ) X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列 X( ...
数字信号处理笔记(下)
数字信号处理 3.离散傅里叶变换DFT 3.1 离散傅里叶变换的定义及其物理意义 3.1.2 周期序列的傅里叶级数 3.2 DFT的性质 3.3 频率域采样定理 4 快速傅里叶变换FFT 4.1 时域 ...

【数字信号处理】基本序列傅里叶变换总结 ( 单位脉冲序列 δ(n) | {1} 序列 | e^jωn 序列 | cosωn 序列 | sinωn 序列 | a^nu(n) | 矩形窗函数 ) ★★★

文章目录