【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明 共轭对称序列 x_e(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的实部 )
文章目录
- 一、前置公式定理
- 1、相关元素说明
- x(n) 分解为实部序列与虚部序列
- x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
- X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
- X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
- 2、序列对称分解定理
- 3、傅里叶变换定义
- 二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部
- 1、共轭对称序列分解
- 2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换
- 3、求 x_e(n) 的傅里叶变换
一、前置公式定理
1、相关元素说明
x(n) 分解为实部序列与虚部序列
x(n)x(n)x(n) 可以分解为 实部序列 xR(n)x_R(n)xR(n) 和 虚部序列 jxI(n)j x_I(n)jxI(n) :
x(n)=xR(n)+jxI(n)x(n) = x_R(n) + j x_I(n)x(n)=xR(n)+jxI(n)
x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
根据序列对称分解定理 , x(n)x(n)x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 和 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和表示 ;
x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)
X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 也可以分解为 实部序列 XR(ejω)X_R(e^{j\omega})XR(ejω) 和 虚部序列 jXI(ejω)j X_I(e^{j\omega})jXI(ejω) :
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)
X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x(n)x(n)x(n) 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 与 x(n)x(n)x(n) 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) 之和表示 ;
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
2、序列对称分解定理
任意一个 序列 x(n)x(n)x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和来表示 ;
x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)
共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]
3、傅里叶变换定义
序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;
x(n)x(n)x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;
x(n)x(n)x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :
∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞
连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
就是 x(n)x(n)x(n) 的 序列傅里叶变换 SFT ;
ω\omegaω 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 是 实的连续的 变量 ω\omegaω 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;
X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)
∣X(ejω)∣|X(e^{j\omega})|∣X(ejω)∣ 模 是其 " 幅频特性 " ,
ejθ(ω)e^{j\theta(\omega)}ejθ(ω) 相角 是其 " 相频特性 " ,
其中
θ(ω)=arg(X(ejω))\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))θ(ω)=arg(X(ejω))
二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部
证明下面的公式 :
x(n)x(n)x(n) 的 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)
xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)
1、共轭对称序列分解
根据 序列对称分解定理 , 可得
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
对 xe(n)x_e(n)xe(n) 求傅里叶变换 , 也就是对 0.5[x(n)+x∗(−n)]0.5[x(n) + x^*(-n)]0.5[x(n)+x∗(−n)] 求傅里叶变换 ;
2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换
根据傅里叶变换定义 :
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
可得 x∗(−n)x^*(-n)x∗(−n) 的傅里叶变换 是
∑n=−∞+∞x∗(−n)e−jωn①\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ①n=−∞∑+∞x∗(−n)e−jωn ①
令 −n=n′-n = n'−n=n′ , 则 上式 ① 可以写成 :
∑n=−∞+∞x∗(−n)e−jωn=∑n=−∞+∞x∗(n′)ejωn′②\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n') e^{j \omega n'} \ \ \ \ ②n=−∞∑+∞x∗(−n)e−jωn=n=−∞∑+∞x∗(n′)ejωn′ ②
将 n′n'n′ 写成 nnn , 可以得到下面的式子 :
∑n=−∞+∞x∗(n)ejωn③\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{j \omega n} \ \ \ \ ③n=−∞∑+∞x∗(n)ejωn ③
根据
(a+b)∗=a∗+b∗( a + b )^* = a^* + b^*(a+b)∗=a∗+b∗
公式 , 将上式 ③ 中的 共轭 ∗^*∗ 提取到外面 :
[∑n=−∞+∞x(n)ejωn]∗③[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^* \ \ \ \ ③[n=−∞∑+∞x(n)ejωn]∗ ③
可以得到上面的 ③ 式就是 X∗(ejω)X^*(e^{j\omega})X∗(ejω) ;
3、求 x_e(n) 的傅里叶变换
对 xe(n)x_e(n)xe(n) 求傅里叶变换 , 也就是对 0.5[x(n)+x∗(−n)]0.5[x(n) + x^*(-n)]0.5[x(n)+x∗(−n)] 求傅里叶变换 ;
其中 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换是 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) , x∗(−n)x^*(-n)x∗(−n) 的傅里叶变换是 X∗(ejω)X^*(e^{j\omega})X∗(ejω) ;
综合上述 , 可得 :
SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X∗(ejω)SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega})SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X∗(ejω)
X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 的虚部是正的 , X∗(ejω)X^*(e^{j\omega})X∗(ejω) 的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,
而 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 可以分解为实部 XR(ejω)X_R(e^{j\omega})XR(ejω) 和 虚部 jXI(ejω)j X_I(e^{j\omega})jXI(ejω) , 虚部抵消 , 只剩下实部 ,
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)
因此得到 :
SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X∗(ejω)=XR(ejω)SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega}) = X_R(e^{j \omega})SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X∗(ejω)=XR(ejω)
最终得到 :
x(n)x(n)x(n) 的 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)
xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)
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