牛顿迭代法实现平方根函数

2024-05-19 19:32:28

牛顿迭代法实现平方根函数

平方根函数Sqrt() 用来求一个数的平方根，如何实现这个函数？有多种方法，这里记录一种比较常用的牛顿迭代法。

牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton·s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

牛顿迭代法可以用来求方程近似的根。那么具体过程如何来求？假设
函数的f(x)f(x)的根为r，那么我们任选取点x0x_0作为r的初始近似值，进行以下的步骤：

过点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))做曲线的切线l,切线l的方程为：y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)
求得切线l与x轴的交点：x1=x0−f(x0)/f′(x0)x_1 = x_0-f(x_0)/f'(x_0)，计算|x0−x1||x_0-x_1|的差值，若差值小于某个阈值，那么停止算法；若没有，以x1x_1为新的点继续重复上述第一步

计算过程中，xn+1x_{n+1}称为r的 n+1n+1 次近似值，而xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)x_{n+1}= x_n-f(x_n)/f'(x_n)即称为牛顿迭代公式。

整个过程如下图( 图片摘自网络)：

平方根函数

假设输入数是S，那么要求的平方根为x,满足S=x2S=x^{2} ,那么我们就可以定义函数f(x)=x2−Sf(x)=x^{2}-S，最终问题就转换为求方程 f(x)=0=x2−Sf(x)=0=x^{2}-S的根。

可知，f′(x)=2xf'(x)=2x，那么我们就可得到：xn+1=xn−（x2n−S）/2xnx_{n+1}=x_n-（x_n^2-S）/2x_n,于是得到了xn+1=（x2n+S）/2xnx_{n+1}=（x_n^2+S）/2x_n，当xn+1与xnx_{n+1}与x_n的差值小于某个阈值时，我们就得到方程的解，也就是S的平方根。

实现代码

int sqrt(int x)
{double ans = x;double del = 0.00001;double pre=0;while (fabs(ans - pre) >= del) {pre = ans;ans = (ans + x / ans) / 2;}return ans;
}

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