一、对称性质

对称性定理 :

原问题 ( LPLPLP ) 的对偶是对偶问题 ( DPDPDP )
对偶问题 ( DPDPDP ) 的对偶是原问题 ( LPLPLP )

原问题和对偶问题互为对偶 ;

对偶问题是对称的

原问题 LPLPLP :

maxZ=CXs.t{AX≤bX≥0\begin{array}{lcl} maxZ = C X \\\\ s.t\begin{cases} AX \leq b \\\\ X \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0

对偶问题 DPDPDP :

minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0

二、对称性质推导

将上述对偶问题 DPDPDP 转为求最大值 ;

minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0

转换过程 :

目标函数转为取最大值 : 转换后的结果如下 , 就是相当于在目标函数的左右两端乘以 −1-1−1 ;

maxZ=−bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} maxZ = -b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=−bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0

根据下面表格中的对偶问题写法 , 写出上述线性规划的对偶问题 :
- 目标函数由最大值转为最小值 ( 目标函数求最大值前提 ) : minW=CXmin W = CXminW=CX
- LPLPLP 约束条件与 DPDPDP 约束变量符号相反 ( 目标函数求最大值前提 ) : 上述线性规划问题的约束条件是大于等于不等式 , 那么对应的约束变量小于等于 000 ; 约束变量 X≤0X \leq 0X≤0
- LPLPLP 约束变量与 DPDPDP 约束条件符号相同 ( 目标函数求最大值前提 ) : 上述线性规划问题的约束变量大于等于 000 , 那么对应的约束条件也是大于等于不等式 ; 约束条件是 AX≥−bAX \geq -bAX≥−b
- 最终得到的线性规划为 :

minW=CXs.t{AX≥−bX≤0\begin{array}{lcl} min W = CX \\\\ s.t\begin{cases} AX \geq -b \\\\ X \leq 0 \end{cases}\end{array}minW=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≥−bX≤0

原问题 LPLPLP	对偶问题 DPDPDP
–	–
目标函数求最大值 maxZmaxZmaxZ	目标函数求最小值 minWminWminW
–	–
约束条件常数项	目标函数系数
目标函数系数	约束条件常数项
–	–
mmm 个约束条件	nnn 个约束变量
nnn 个约束变量	mmm 个约束条件
–	–
约束条件是小于等于不等式 ≤\leq≤	约束变量是大于等于 ≥0\geq 0≥0 的
约束条件是大于等于不等式 ≥\geq≥	约束变量是小于等于 ≤0\leq 0≤0 的
约束条件是等式	约束变量是自由变量 ( 没有约束 )
–	–
约束变量是大于等于 ≥0\geq 0≥0 的	约束条件是大于等于不等式 ≥\geq≥
约束变量是小于等于 ≤0\leq 0≤0 的	约束条件是小于等于不等式 ≤\leq≤
约束变量是自由变量 ( 没有约束 )	约束条件是等式

记住一条 : 目标函数求最大值 , LPLPLP 约束条件与 DPDPDP 约束变量符号相反 , LPLPLP 约束变量与 DPDPDP 约束条件符号相同 ;

对如下线性规划作代换 :

minW=CXs.t{AX≥−bX≤0\begin{array}{lcl} min W = CX \\\\ s.t\begin{cases} AX \geq -b \\\\ X \leq 0 \end{cases}\end{array}minW=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≥−bX≤0

代换内容 : 引入变量 X′=−XX' = -XX′=−X , 使用 −X′-X'−X′ 替换上述线性规划中的 XXX ;

目标函数 : 代换后为 minW=−CX′minW = -CX'minW=−CX′ , 此时两边乘以 −1-1−1 即可得到 maxZ=CX′maxZ = CX'maxZ=CX′ ;
约束方程 : 代换后为 −AX′≥−b-AX' \geq -b−AX′≥−b , 左右两边乘以 −1-1−1 即可得到 AX′≤bAX' \leq bAX′≤b ;
约束变量 : 代换后为 −X′≤0-X' \leq 0−X′≤0 , 左右变量乘以 −1-1−1 即可得到 X′≥0X' \geq 0X′≥0

最终代换结果为 :

maxZ=CX′s.t{AX′≤bX′≥0\begin{array}{lcl} maxZ = CX' \\\\ s.t\begin{cases} AX' \leq b \\\\ X' \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CX′s.t⎩⎪⎨⎪⎧AX′≤bX′≥0

【运筹学】对偶理论 : 对偶性质 ( 对称性质 | 对称性质推导 )相关推荐

【集合论】关系性质 ( 常见的关系的性质 | 关系性质示例 | 关系运算性质 )
文章目录一.常见的关系的性质二.关系的性质示例三.关系运算性质一.常见的关系的性质在自然数集 N={0,1,2,⋯}N=\{ 0, 1,2, \cdots \}N={0,1,2,⋯} 上 ...
用计算机怎么求反三角函数图像及性质,反三角函数图像及性质
反三角函数及性质 y=arcsinx. 函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的反函数称为反正弦函数,记做x=arcsiny. 习惯上用x表明自变量,用y表明函数,因此反正弦函数写为y=arcsi ...
ScSb的热电性质——热输运性质计算（力常数）
接上部分ScSb热电性质--电子输运性质计算.上文说到,要计算一个材料的热电性质,需要计算两个部分,一个是电子输运性质,另一个是晶格热输运性质.这两个部分互不干扰,可以分开计算,下面是关于ScSb的晶 ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换时移性质示例 )
文章目录一.傅里叶变换线时移性质二.傅里叶变换线时移性质示例一.傅里叶变换线时移性质傅里叶变换时移性质 : 序列信号在 " 时间 " 上 , 进行一系列 " 平 ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )
文章目录一.傅里叶变换线性性质二.傅里叶变换时移性质证明过程一.傅里叶变换线性性质傅里叶变换线性性质 : 两个序列之和的傅里叶变换 , 等于两个序列的傅里叶变换之和 ; SFT ...
078 周期函数定积分性质及定积分三大性质总结
078 周期函数定积分性质及定积分三大性质总结
数字图像处理报告：实验3 同态滤波、频域滤波、傅里叶变换性质、DCT变换性质
实验3 同态滤波.频域滤波.傅里叶变换性质.DCT变换性质一.实验主题: 学习同态滤波.频域滤波.傅里叶变换性质.DCT变换性质,掌握其原理,并学会编程,实现这些方法与性质. 二.实验目的: 1.掌 ...
干货！小样本分子性质预测新方法——性质感知的关系网络
点击蓝字关注我们 AI TIME欢迎每一位AI爱好者的加入! 分子性质预测能够识别具有目标性质的候选分子,在药物发现中发挥着重要作用.由于新药发现研究中已知药理性质的分子(有标签样本)少,分子性质预 ...
傅里叶变换频域积分性质和频域卷积性质证明
傅里叶变换频域积分性质和频域卷积性质证明最近在学习信号与系统这门课程,其中的一个知识点就是傅里叶变换的性质,为了更好地记忆和使用这些性质,最好是知道这些性质的证明过程,而有些性质如频域积分和频域卷积 ...

【运筹学】对偶理论 : 对偶性质 ( 对称性质 | 对称性质推导 )

文章目录

一、对称性质

二、对称性质推导

【运筹学】对偶理论 : 对偶性质 ( 对称性质 | 对称性质推导 )相关推荐

最新文章

热门文章