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一、指数生成函数性质
二、指数生成函数求解多重集排列

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一、指数生成函数性质

两个数列 {an},{bn}\{a_n\} , \{b_n\}{an},{bn} 对应的指数生成函数分别是 Ae(x),Be(x)A_e(x) , B_e(x)Ae(x),Be(x) ,

将上述两个指数生成函数相乘 , 看做一个函数 , 可以展开成另外一个数列的级数形式 ,

Ae(x)⋅Be(x)=∑n=0∞cnxnn!A_e(x) \cdot B_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n \cfrac{x^n}{n!}Ae(x)⋅Be(x)=n=0∑∞cnn!xn

其中 , cn=∑k=0∞(nk)akbn−kc_n =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dbinom{n}{k}a_kb_{n-k}cn=k=0∑∞(kn)akbn−k

( 代入即可求出该结果 )

二、指数生成函数求解多重集排列

多重集 S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \}S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}

多重集 SSS 的 rrr 排列数组成数列 {ar}\{ a_r \}{ar} , 对应的指数生成函数是 :

Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x)G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x)Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x) ★

其中每个生成函数项 fni(x)f_{n_i}(x)fni(x) 是

fni(x)=1+x+x22!+⋯+xnini!f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!}fni(x)=1+x+2!x2+⋯+ni!xni ★

将 Ge(x)G_e(x)Ge(x) 展开 , 其中的 xrr!\cfrac{x^r}{r!}r!xr 的系数就是多重集的排列数 , 特别注意如果不是 xrr!\cfrac{x^r}{r!}r!xr 形式 , 需要强制转化成上述性质 , 一定要除以 r!r!r! ; ★★★★★

选取问题参考 :

nnn 元集 SSS , 从 SSS 集合中选取 rrr 个元素 ;

根据元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :

	元素不重复	元素可以重复
有序选取	集合排列 P(n,r)P(n,r)P(n,r)	多重集排列
无序选取	集合组合 C(n,r)C(n,r)C(n,r)	多重集组合

选取问题中 :

不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ; P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!
不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ; C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(n−r)!C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!
可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; 全排列=n!n1!n2!⋯nk!全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列 kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_ikr, r≤ni
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

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