集合理论：习题

1.\mathbf{1.}1. 证明由 nnn 个元素组成的集合 T={a1,a2,⋯,an}T=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}T={a1,a2,⋯,an} 有 2n2^{n}2n 个子集。
证明：

从集合 TTT 中任取 k(k=0,1,2,⋯,n)k(k=0,1,2,\cdots,n)k(k=0,1,2,⋯,n) 个元素组成集合，有 CnkC_{n}^{k}Cnk 种选取方法，因此集合 TTT 的子集总数为
∑k=0nCnk=Cn0(10⋅1n)+Cn1(11⋅1n−1)+Cn2(12⋅1n−2)+⋯+Cnn(1n⋅10)=(1+1)n=2n。\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}} &= C_{n}^{0}(1^{0}·1^{n}) + C_{n}^{1}(1^{1}·1^{n-1}) + C_{n}^{2}(1^{2}·1^{n-2}) + \cdots + C_{n}^{n}(1^{n}·1^{0}) \\ &=(1+1)^{n}=2^{n}。 \end{aligned} k=0∑nCnk=Cn0(10⋅1n)+Cn1(11⋅1n−1)+Cn2(12⋅1n−2)+⋯+Cnn(1n⋅10)=(1+1)n=2n。

证毕

二项式定理

2.\mathbf{2.}2. 证明：
（1）任意无限集必有可列子集；
（2）设 AAA 和 BBB 都是可集，证明 A∪BA \cup BA∪B 也是可列集。
证明：
（1）设集合 SSS 是无限集，则可以取 a1∈Sa_1 \in Sa1∈S。
由 SSS 是无限集，因此一定可以取 a2∈S,且 a2≠a1a_2 \in S, ~ \text{且} ~ a_2 \ne a_1a2∈S, 且 a2=a1；
由 SSS 是无限集，因此一定可以取 a3∈S,且 a3≠a2,a3≠a1a_3 \in S, ~ \text{且} ~ a_3 \ne a_2,a_3 \ne a_1a3∈S, 且 a3=a2,a3=a1；
……
由 SSS 是无限集，因此一定可以取 an∈S,且 an≠an−1,an≠an−2,⋯,an≠a1a_n \in S, ~ \text{且} ~ a_n \ne a_{n-1},a_n \ne a_{n-2},\cdots,a_{n} \ne a_1an∈S, 且 an=an−1,an=an−2,⋯,an=a1；
……
该过程可一直持续下去，于是可以得到可列集合 T={a1,a2,⋯,an,⋯},T⊆ST=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\},~ T \subseteq ST={a1,a2,⋯,an,⋯}, T⊆S。

证毕

参考文献

[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析上第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 周性伟. 实变函数第2版. 北京：高等教育出版社, 2007.01.

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