一、生成函数换元性质

生成函数求和性质 1 :

bn=αnanb_n = \alpha^n a_nbn=αnan , 则 B(x)=A(αx)B(x) =A( \alpha x)B(x)=A(αx)

数列 ana_nan 的生成函数是 A(x)A(x)A(x) , 数列 bnb_nbn 的生成函数是 B(x)B(x)B(x) ,

数列 an={a0,a1,a2,⋯}a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots \}an={a0,a1,a2,⋯} , 数列 bn={α0a0,α1a1,α2a2,⋯}b_n = \{ \alpha^0a_0 , \alpha^1a_1, \alpha^2a_2 , \cdots \}bn={α0a0,α1a1,α2a2,⋯} ;

数列 ana_nan 的生成函数 A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdotsA(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯

数列 bnb_nbn 的生成函数 B(x)=α0a0x0+α1a1x1+α2a2x2+⋯B(x) = \alpha^0a_0x^0 + \alpha^1a_1x^1 + \alpha^2a_2x^2 + \cdotsB(x)=α0a0x0+α1a1x1+α2a2x2+⋯

证明方法 :

在 bnb_nbn 的生成函数 B(x)B(x)B(x) 中 , 将 α0x0\alpha^0x^0α0x0 看作一项 , 将 α1x1\alpha^1x^1α1x1 看作一项 , 将 α2x2\alpha^2x^2α2x2 看作一项 ,

观察上述项可以看出 , α\alphaα 与 xxx 的幂值是相同的 ,

因此可以将 αx\alpha xαx 看作一个变量 ,

这样通过换元可以得到 B(x)=A(αx)B(x) =A( \alpha x)B(x)=A(αx) 公式 ;

二、生成函数求导性质

生成函数求导性质 :

bn=nanb_n = n a_nbn=nan , 则 B(x)=xA′(x)B(x) =xA'( x)B(x)=xA′(x)

数列 ana_nan 的生成函数是 A(x)A(x)A(x) , 数列 bnb_nbn 的生成函数是 B(x)B(x)B(x) ,

数列 an={a0,a1,a2,⋯,an,⋯}a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots , a_n , \cdots \}an={a0,a1,a2,⋯,an,⋯} , 数列 bn={0a0,a1,2a2,⋯,nan,⋯}b_n = \{ 0a_0 , a_1, 2a_2 , \cdots, na_n ,\cdots \}bn={0a0,a1,2a2,⋯,nan,⋯} ;

数列 ana_nan 的生成函数 A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdotsA(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯

数列 bnb_nbn 的生成函数 B(x)=0a0x0+1a1x1+2a2x2+⋯+nanxn+⋯B(x) = 0a_0x^0 + 1a_1x^1 + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^n + \cdotsB(x)=0a0x0+1a1x1+2a2x2+⋯+nanxn+⋯

证明上述性质 :

将数列 ana_nan 的生成函数 A(x)A(x)A(x) 求导 , 再乘以 xxx , 即可得到 B(x)B(x)B(x) ;

A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdotsA(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯

使用导数公式 : (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1

参考 : 求导-百度百科

A′(x)=0+a1+2a2x+⋯+nanxn−1+⋯A'(x) = 0 + a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1} + \cdotsA′(x)=0+a1+2a2x+⋯+nanxn−1+⋯

xA′(x)=0+a1x+2a2x2+⋯+nanxn+⋯=B(x)xA'(x) = 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^{n} + \cdots = B(x)xA′(x)=0+a1x+2a2x2+⋯+nanxn+⋯=B(x)

三、生成函数积分性质

bn=ann+1b_n = \cfrac{a_n}{n+1}bn=n+1an , 则 B(x)=1x∫0xA(x)dxB(x) =\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dxB(x)=x1∫0xA(x)dx

上述性质很难记忆 , 由已知生成函数 , 可以推导出未知的生成函数 , 使用时推导即可 ;

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【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )

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一、生成函数换元性质

二、生成函数求导性质

三、生成函数积分性质

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