▓ 本文是2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案

§01 第一小题

1. 用拉普拉斯变换解下列微分方程：

（1）

d2dt2y(t)+2ddty(t)+y(t)=δ(t)+2δ′(t){{d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 2{d \over {dt}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \delta \left( t \right) + 2\delta '\left( t \right)dt2d2y(t)+2dtdy(t)+y(t)=δ(t)+2δ′(t)

y(0−)=1,y′(0−)=2y\left( {0_ - } \right) = 1,\,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 2y(0−)=1,y′(0−)=2

（2）

d2dt2y(t)+5ddty(t)+6y(t)=3x(t){{d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 5{d \over {dt}}y\left( t \right) + 6y\left( t \right) = 3x\left( t \right)dt2d2y(t)+5dtdy(t)+6y(t)=3x(t)

x(t)=e−tu(t),y(0−)=0,y′(0−)=1x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right),\,\,\,y\left( {0_ - } \right) = 0,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 1x(t)=e−tu(t),y(0−)=0,y′(0−)=1

提示：参考§5.7.1, §5.7.1.1

■ 求解：

（1）第一小题

对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理可将系统的初始条件代入方程：

s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+2[sY(s)−y(0−)]+Y(s)=1+2ss^2 Y\left( s \right) - sy\left( {0_ - } \right) - y'\left( {0_ - } \right) + 2\left[ {sY\left( s \right) - y\left( {0_ - } \right)} \right] + Y\left( s \right) = 1 + 2ss2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+2[sY(s)−y(0−)]+Y(s)=1+2s

s2Y(s)−s−2+2[sY(s)−1]+Y(s)=1+2ss^2 Y\left( s \right) - s - 2 + 2\left[ {sY\left( s \right) - 1} \right] + Y\left( s \right) = 1 + 2ss2Y(s)−s−2+2[sY(s)−1]+Y(s)=1+2s

(s2+2s+1)Y(s)=3s+5\left( {s^2 + 2s + 1} \right)Y\left( s \right) = 3s + 5(s2+2s+1)Y(s)=3s+5

Y(s)=5+3ss2+2s+1Y\left( s \right) = {{5 + 3s} \over {s^2 + 2s + 1}}Y(s)=s2+2s+15+3s

进行Laplace反变换可以得到方程的解
y(t)=3e−t+2t⋅e−t,t≥0y\left( t \right) = 3e^{ - t} + 2t \cdot e^{ - t} ,\,\,\,\,t \ge 0y(t)=3e−t+2t⋅e−t,t≥0

>>ilaplace((3*s+5)/(s*s+2*s+1))'
ans=3*exp(-t)+2*t*exp(-t)

（2）第二小题

对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理可将系统的初始条件代入方程：

s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+5[sY(s)−y(0−)]+6Y(s)=3X(s)s^2 Y\left( s \right) - sy\left( {0_ - } \right) - y'\left( {0_{\rm{ - }} } \right) + 5\left[ {sY\left( s \right) - y\left( {0_ - } \right)} \right] + 6Y\left( s \right) = 3X\left( s \right)s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+5[sY(s)−y(0−)]+6Y(s)=3X(s)

X(s)=1s+1X\left( s \right) = {1 \over {s + 1}}X(s)=s+11

(s2+5s+6)Y(s)=1s+1+1\left( {s^2 + 5s + 6} \right)Y\left( s \right) = {1 \over {s + 1}} + 1(s2+5s+6)Y(s)=s+11+1

Y(s)=s+2(s+1)(s2+5s+6)Y\left( s \right) = {{s + 2} \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s^2 + 5s + 6} \right)}}Y(s)=(s+1)(s2+5s+6)s+2

进行Laplace反变换，可以的方程的解

y(t)=12e−t−12e−3t,t≥0y\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - t} - {1 \over 2}e^{ - 3t} ,\,\,\,\,t \ge 0y(t)=21e−t−21e−3t,t≥0

>>ilaplace((s+2)/((s+1)*(s*s+5*s+6)))'
ans=exp(-t)/2 -exp(-3*t)/2

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