2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第九小题参考答案
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§09 第九小题
9、证明DFT的对称性质：
若：DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]，则DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅RN[n]DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot x\left( {\left( { - k} \right)} \right)_N \cdot R_N \left[ n \right]DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅RN[n]。
▓ 求解
根据IDFT公式：x[n]=1N∑k=0NX[k]⋅ej2πknNx\left[ n \right] = {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{j2\pi kn} \over N}} }x[n]=N1k=0∑NX[k]⋅eNj2πkn
因此：N⋅x[n]=∑k=0NX[k]⋅e−j2πkN(−n)N \cdot x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{ - j2\pi k} \over N}\left( { - n} \right)} }N⋅x[n]=k=0∑NX[k]⋅eN−j2πk(−n)
所以：DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅R[n]DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot x\left( {\left( { - k} \right)} \right)_N \cdot R\left[ n \right]DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅R[n]
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