▓ 本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案

§03 第三小题

3. 设激励x(t)=e−tx\left( t \right) = e^{ - t}x(t)=e−t 时，系统的零状态响应为：

y(t)=12e−t−e−2t+2e−3ty\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{ - 3t} \;\;\;\;\;y(t)=21e−t−e−2t+2e−3t

求该系统的单位脉冲响应 h(t)h\left( t \right)h(t)。

提示：应用LT的卷积定理。系统的零状态输出等于输入信号x(t)与h(t)的卷积。在变换域内，则Y(s)=X(s)H(s).利用已知条件求解H(s)，再进行LT反变换。

■ 求解：

分别对输入信号x(t)x\left( t \right)x(t)和系统的零状态响应y(t)y\left( t \right)y(t)进行Laplace变换：
X(s)=LT[e−t⋅u(t)]=1s+1X\left( s \right) = LT\left[ {e^{ - t} \cdot u\left( t \right)} \right] = {1 \over {s + 1}}X(s)=LT[e−t⋅u(t)]=s+11

Y(s)=LT[12e−t−e−2t+2e−3t]=121s+1−1s+2+2s+3Y\left( s \right) = LT\left[ {{1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{ - 3t} } \right] = {1 \over 2}{1 \over {s + 1}} - {1 \over {s + 2}} + {2 \over {s + 3}}Y(s)=LT[21e−t−e−2t+2e−3t]=21s+11−s+21+s+32

=32s2+92s+4(s+1)(s+2)(s+3)= {{{3 \over 2}s^2 + {9 \over 2}s + 4} \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}=(s+1)(s+2)(s+3)23s2+29s+4

根据线性是不变系统的性质，系统的零状态输出等于系统的输入信号与系统的单位冲击响应信号的卷积：y(t)=x(t)∗h(t)y\left( t \right) = x\left( t \right) * h\left( t \right)y(t)=x(t)∗h(t)

根据Laplace变换的卷积定理：Y(s)=X(s)⋅H(s)Y\left( s \right) = X\left( s \right) \cdot H\left( s \right)Y(s)=X(s)⋅H(s)

因此：H(s)=Y(s)X(s)=32s2+92s+4(s+1)2(s+2)(s+3)H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{{3 \over 2}s^2 + {9 \over 2}s + 4} \over {\left( {s + 1} \right)^2 \left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}H(s)=X(s)Y(s)=(s+1)2(s+2)(s+3)23s2+29s+4

>>ilaplace((1.5*s*s+4.5*s+4)/((s+1)^2*(s+2)*(s+3)))'
ans=exp(-2*t)-exp(-3*t)+(t*exp(-t))/2

则系统的单位冲击响应信号h(t)h\left( t \right)h(t)等于：h(t)=e−2t−e−3t+12t⋅e−t,t≥0h\left( t \right) = e^{ - 2t} - e^{ - 3t} + {1 \over 2}t \cdot e^{ - t} ,\,\,\,\,t \ge 0h(t)=e−2t−e−3t+21t⋅e−t,t≥0

>>ilaplace((1.5*s*s+4.5*s+4)/((s+1)^2*(s+2)*(s+3)))'
ans=exp(-2*t)-exp(-3*t)+(t*exp(-t))/2

▌十二次作业其它各小题参考答案

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