▓ 本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案

§02 第二小题

2. 用单边 zzz 变换求解下列差分方程，并求出零输入响应和零状态状态响应。

（1）

y[n]+3y[n−1]=x[n],x[n]=(12)n⋅u[n],y[−1]=1y\left[ n \right] + 3y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right],\,\,x\left[ n \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right],\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1y[n]+3y[n−1]=x[n],x[n]=(21)n⋅u[n],y[−1]=1

（2）

y[n]−12y[n−1]=x[n]−12x[n−1],x[n]=u[n],y[−1]=1y\left[ n \right] - {1 \over 2}y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right] - {1 \over 2}x\left[ {n - 1} \right],\,\,x\left[ n \right] = u\left[ n \right],\,\,\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1y[n]−21y[n−1]=x[n]−21x[n−1],x[n]=u[n],y[−1]=1

提示：参考§5.7.2, §5.7.2.1’

■ 求解：

（1）第一小题

方程两边同时进行z变换：
Y(z)+3z−1Y(z)+3⋅y[−1]=X(z)Y\left( z \right) + 3z^{ - 1} Y\left( z \right) + 3 \cdot y\left[ { - 1} \right] = X\left( z \right)Y(z)+3z−1Y(z)+3⋅y[−1]=X(z)(1+3z−1)Y(z)=zz−12−3\left( {1 + 3z^{ - 1} } \right)Y\left( z \right) = {z \over {z - {1 \over 2}}} - 3(1+3z−1)Y(z)=z−21z−3Y(z)=z(−2z+32)(z−12)(z+3)=17zz−12+−157zz+3Y\left( z \right) = {{z\left( { - 2z + {3 \over 2}} \right)} \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)\left( {z + 3} \right)}} = {{{1 \over 7}z} \over {z - {1 \over 2}}} + {{ - {{15} \over 7}z} \over {z + 3}}Y(z)=(z−21)(z+3)z(−2z+23)=z−2171z+z+3−715z
y[n]=17(12)nu[n]−157(−3)nu[n]y\left[ n \right] = {1 \over 7}\left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] - {{15} \over 7}\left( { - 3} \right)^n u\left[ n \right]y[n]=71(21)nu[n]−715(−3)nu[n]

零输入响应：
Yzi(z)=−31+3z−1=−3zz+3Y_{zi} \left( z \right) = {{ - 3} \over {1 + 3z^{ - 1} }} = {{ - 3z} \over {z + 3}}Yzi(z)=1+3z−1−3=z+3−3zyzi[n]=−3(−3)n⋅u[n]=(−3)n+1u[n]y_{zi} \left[ n \right] = - 3\left( { - 3} \right)^n \cdot u\left[ n \right] = \left( { - 3} \right)^{n + 1} u\left[ n \right]yzi[n]=−3(−3)n⋅u[n]=(−3)n+1u[n]

零状态响应：
Yzs(z)=z2(z−12)(z+3)=17zz−12+67zz+3Y_{zs} \left( z \right) = {{z^2 } \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)\left( {z + 3} \right)}} = {{{1 \over 7}z} \over {z - {1 \over 2}}} + {{{6 \over 7}z} \over {z + 3}}Yzs(z)=(z−21)(z+3)z2=z−2171z+z+376zyzs[n]=17(12)nu[n]+67(−3)nu[n]y_{zs} \left[ n \right] = {1 \over 7}\left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] + {6 \over 7}\left( { - 3} \right)^n u\left[ n \right]yzs[n]=71(21)nu[n]+76(−3)nu[n]

（2）第二小题

方程两边同时进行z变换：
Y(z)−12z−1Y(z)−12y[−1]=(1−12z−1)⋅zz−1Y\left( z \right) - {1 \over 2}z^{ - 1} Y\left( z \right) - {1 \over 2}y\left[ { - 1} \right] = \left( {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} } \right) \cdot {z \over {z - 1}}Y(z)−21z−1Y(z)−21y[−1]=(1−21z−1)⋅z−1zY(z)=z(32z−1)(z−1)(z−12)=zz−1+12z−12Y\left( z \right) = {{z\left( {{3 \over 2}z - 1} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - {1 \over 2}} \right)}} = {z \over {z - 1}} + {{{1 \over 2}} \over {z - {1 \over 2}}}Y(z)=(z−1)(z−21)z(23z−1)=z−1z+z−2121y[n]=u[n]+(12)n+2u[n]y\left[ n \right] = u\left[ n \right] + \left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 2} u\left[ n \right]y[n]=u[n]+(21)n+2u[n]

系统的零输入响应为：
Yzi(z)=12zz−12Y_{zi} \left( z \right) = {{{1 \over 2}z} \over {z - {1 \over 2}}}Yzi(z)=z−2121zyzi[n]=(12)n+1u[n]y_{zi} \left[ n \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1} u\left[ n \right]yzi[n]=(21)n+1u[n]

系统的零状态响应为：
Yzs(z)=zz−1Y_{zs} \left( z \right) = {z \over {z - 1}}Yzs(z)=z−1zyzs[n]=u[n]y_{zs} \left[ n \right] = u\left[ n \right]yzs[n]=u[n]

▌十二次作业其它各小题参考答案

2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第四小题
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2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第六小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第七小题

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