2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。
▌第一道题
1. 列写描述下面两个电路的激励信号e(t)e\left( t \right)e(t)与输出信号v0(t)v_0 \left( t \right)v0(t)之间的微分方程。
求解：
（1）第一小题（a）
对于（a）所示的电路图，列写网孔电流方程：
2i1(t)+di1(t)dt+∫−∞ti1(τ)dτ−∫−∞ti2(τ)dτ=e(t)2i_1 \left( t \right) + {{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + \int_{ - \infty }^t {i_1 \left( \tau \right)d\tau } - \int_{ - \infty }^t {i_2 \left( \tau \right)d\tau } = e\left( t \right)2i1(t)+dtdi1(t)+∫−∞ti1(τ)dτ−∫−∞ti2(τ)dτ=e(t)
∫−∞t[i2(t)−i1(τ)]dτ+i2(τ)=−v0(t)\int_{ - \infty }^t {\left[ {i_2 \left( t \right) - i_1 \left( \tau \right)} \right]d\tau } + i_2 \left( \tau \right) = - v_0 \left( t \right)∫−∞t[i2(t)−i1(τ)]dτ+i2(τ)=−v0(t)
又：
v2(t)=2di2(t)dtv_2 \left( t \right) = 2{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}}v2(t)=2dtdi2(t)
经过消去i1(t),i2(t)i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right)i1(t),i2(t)可以得到电路的输入输出方程为：
2d2dt3vo(t)+5d2dt2v0(t)+5ddtv0(t)+3vo(t)=2ddte(t)2{{d^2 } \over {dt^3 }}v_o \left( t \right) + 5{{d^2 } \over {dt^2 }}v_0 \left( t \right) + 5{d \over {dt}}v_0 \left( t \right) + 3v_o \left( t \right) = 2{d \over {dt}}e\left( t \right)2dt3d2vo(t)+5dt2d2v0(t)+5dtdv0(t)+3vo(t)=2dtde(t)
（2）第二小题（b）
这是一个带有互感的电路，根据原边回路电压与副边回路电压列写回路电压方程：
1C∫−∞ti1(τ)dτ+Ldi1(t)dt+Mdi2(t)dt+Ri1(t)=e(t){1 \over C}\int_{ - \infty }^t {i_1 \left( \tau \right)d\tau } + L{{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + M{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}} + Ri_1 \left( t \right) = e\left( t \right)C1∫−∞ti1(τ)dτ+Ldtdi1(t)+Mdtdi2(t)+Ri1(t)=e(t)
1C∫−∞ti2(τ)dτ+Ldi2(t)dt+Mdi1(t)dt+Ri2(t)=0{1 \over C}\int_{ - \infty }^t {i_2 \left( \tau \right)d\tau } + L{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}} + M{{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + Ri_2 \left( t \right) = 0C1∫−∞ti2(τ)dτ+Ldtdi2(t)+Mdtdi1(t)+Ri2(t)=0
输出电压为：
−Ri2(t)=v0(t)- Ri_2 \left( t \right) = v_0 \left( t \right)−Ri2(t)=v0(t)
经过消去i1(t),i2(t)i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right)i1(t),i2(t)可以得到电路的输入输出方程：
(L2−M2)d4dt4vo(t)+2RLd3dt3vo(t)+(2LC+R2)d2dt2vo(t)+2RCddtvo(t)+1C2vo(t)=MRd2dt2e(t)\left( {L^2 - M^2 } \right){{d^4 } \over {dt^4 }}v_o \left( t \right) + 2RL{{d^3 } \over {dt^3 }}v_o \left( t \right) + \left( {{{2L} \over C} + R^2 } \right){{d^2 } \over {dt^2 }}v_o \left( t \right) + {{2R} \over C}{d \over {dt}}v_o \left( t \right) + {1 \over {C^2 }}v_o \left( t \right) = MR{{d^2 } \over {dt^2 }}e\left( t \right)(L2−M2)dt4d4vo(t)+2RLdt3d3vo(t)+(C2L+R2)dt2d2vo(t)+C2Rdtdvo(t)+C21vo(t)=MRdt2d2e(t)
※ 附录
■ 相关文献链接:
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