本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

▌第十道题

10. 求解差分方程：

（1）第一小题

y[n]=−5y[n−1]+ny\left[ n \right] = - 5y\left[ {n - 1} \right] + ny[n]=−5y[n−1]+ny[−1]=0y\left[ { - 1} \right] = 0y[−1]=0

（2）第二小题

y[n]+2y[n−1]+y[n−2]=3ny\left[ n \right] + 2y\left[ {n - 1} \right] + y\left[ {n - 2} \right] = 3^ny[n]+2y[n−1]+y[n−2]=3ny[−1]=0,y[0]=0y\left[ { - 1} \right] = 0,\,\,y\left[ 0 \right] = 0y[−1]=0,y[0]=0

▌求解

1.第一小题

特征方程为：α+5=0\alpha + 5 = 0α+5=0

求得特征根：α=−5\alpha = - 5α=−5

于是齐次解为：yh[n]=C⋅(−5)ny_h \left[ n \right] = C \cdot \left( { - 5} \right)^nyh[n]=C⋅(−5)n

由于输入信号是nnn，所以令特解为：yp[n]=D1n+D2y_p \left[ n \right] = D_1 n + D_2yp[n]=D1n+D2

将特解代入方程，有：D1n+D2+5{D1[n−1]+D2}=nD_1 n + D_2 + 5\left\{ {D_1 \left[ {n - 1} \right] + D_2 } \right\} = nD1n+D2+5{D1[n−1]+D2}=n

比较上式左右同类项系数可得：D1=16,D2=536D_1 = {1 \over 6},\,\,\,D_2 = {5 \over {36}}D1=61,D2=365

则差分方程的完全解为：y[n]=yh[n]+yp[n]=C(−5)n+16n+536y\left[ n \right] = y_h \left[ n \right] + y_p \left[ n \right] = C\left( { - 5} \right)^n + {1 \over 6}n + {5 \over {36}}y[n]=yh[n]+yp[n]=C(−5)n+61n+365

将y[−1]=0y\left[ { - 1} \right] = 0y[−1]=0代入上式，可得：C=−536C = - {5 \over {36}}C=−365

所以：y[n]=136[(−5)n+1+6n+5]y\left[ n \right] = {1 \over {36}}\left[ {\left( { - 5} \right)^{n + 1} + 6n + 5} \right]y[n]=361[(−5)n+1+6n+5]

2.第二小题

特征方程为：α2+2α+1=0\alpha ^2 + 2\alpha + 1 = 0α2+2α+1=0

求得特征根：α1=α2=−1\alpha _1 = \alpha _2 = - 1α1=α2=−1

于是齐次解为：yh[n]=(C1n+C2)(−1)ny_h \left[ n \right] = \left( {C_1 n + C_2 } \right)\left( { - 1} \right)^nyh[n]=(C1n+C2)(−1)n

由于输入信号为指数序列3n3^n3n，令特解为：yp[n]=D1⋅3ny_p \left[ n \right] = D_1 \cdot 3^nyp[n]=D1⋅3n

将特解代入方程，有：D1⋅3n+2D1⋅3n−1+D1⋅3n−2=3nD_1 \cdot 3^n + 2D_1 \cdot 3^{n - 1} + D_1 \cdot 3^{n - 2} = 3^nD1⋅3n+2D1⋅3n−1+D1⋅3n−2=3n

比较上式左右同类型系数，可以求得：D1=916D_1 {\rm{ = }}{9 \over {16}}D1=169

则差分方程的完全解为：y[n]=yh[n]+yp[n]=(C1n+C2)(−1)n+916⋅3ny\left[ n \right] = y_h \left[ n \right] + y_p \left[ n \right] = \left( {C_1 n + C_2 } \right)\left( { - 1} \right)^n + {9 \over {16}} \cdot 3^ny[n]=yh[n]+yp[n]=(C1n+C2)(−1)n+169⋅3n

将y[−1]=0,y[0]=0y\left[ { - 1} \right] = 0,y\left[ 0 \right] = 0y[−1]=0,y[0]=0代入上式，可得：

(−C1+C2)×(−1)+916×13=0\left( { - C_1 + C_2 } \right) \times \left( { - 1} \right) + {9 \over {16}} \times {1 \over 3} = 0(−C1+C2)×(−1)+169×31=0
C2+916=0C_2 + {9 \over {16}} = 0C2+169=0

求解得到完全解中的待定系数：C1=−34,C2=−916C_1 = - {3 \over 4},\,\,\,C_2 = - {9 \over {16}}C1=−43,C2=−169

所以：y[n]=(−34n−916)(−1)n+9163ny\left[ n \right] = \left( { - {3 \over 4}n - {9 \over {16}}} \right)\left( { - 1} \right)^n + {9 \over {16}}3^ny[n]=(−43n−169)(−1)n+1693n

※ 附录

■ 相关文献链接:

2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第二道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第三道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第四道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第五道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第六道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第七道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第八道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第九道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十道题
2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十一道题

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