本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

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11. 如果已知系统的输入输出关系可以使用二阶常系数 差分方程来描述。如果相应输入为：x[n]=u[n]x\left[ n \right] = u\left[ n \right]x[n]=u[n]的系统响应为：

y[n]=[2n+3×5n+10]⋅u[n]y\left[ n \right] = \left[ {2^n + 3 \times 5^n + 10} \right] \cdot u\left[ n \right]y[n]=[2n+3×5n+10]⋅u[n]

（1）若系统起始为静止的，是决定该二阶差分方程；

（2）若激励为 x[n]=2{u[n]−u[n−10]}x\left[ n \right] = 2\left\{ {u\left[ n \right] - u\left[ {n - 10} \right]} \right\}x[n]=2{u[n]−u[n−10]}，求响应：y[n]y\left[ n \right]y[n]。

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1.第一小问

(1) 根据题意，可知系统的响应包括有 齐次解和特解，分别是：

yh[n]=(2n+3⋅5n)u[n],yp[n]=10u[n]y_h \left[ n \right] = \left( {2^n + 3 \cdot 5^n } \right)u\left[ n \right],\,\,\,\,y_p \left[ n \right] = 10u\left[ n \right]yh​[n]=(2n+3⋅5n)u[n],yp​[n]=10u[n]

那么，系统的特征跟为：α1=2,α1=5\alpha _1 = 2,\,\,\,\,\alpha _1 = 5α1​=2,α1​=5。

由此，可以得到系统齐次方程的系数，假设系统输入的一般表达式为：
y[n]−7y[n−1]+10y[n−2]=b0x[n]+b1x[n−1]+b2x[n−2]y\left[ n \right] - 7y\left[ {n - 1} \right] + 10y\left[ {n - 2} \right] = b_0 x\left[ n \right] + b_1 x\left[ {n - 1} \right] + b_2 x\left[ {n - 2} \right]y[n]−7y[n−1]+10y[n−2]=b0​x[n]+b1​x[n−1]+b2​x[n−2]

引入延迟算子EEE，则差分方程可以写做：

y[n]=b0E2+b1E+b2E2−7E+10x[n]y\left[ n \right] = {{b_0 E^2 + b_1 E + b_2 } \over {E^2 - 7E + 10}}x\left[ n \right]y[n]=E2−7E+10b0​E2+b1​E+b2​​x[n]

对于输入信号x[n]=u[n]x\left[ n \right] = u\left[ n \right]x[n]=u[n]，对应算子为：x[n]=EE−1δ[n]x\left[ n \right] = {E \over {E - 1}}\delta \left[ n \right]x[n]=E−1E​δ[n]

y[n]=b0E2+b1E+b2E2−7E+10⋅EE−1δ[n]y\left[ n \right] = {{b_0 E^2 + b_1 E + b_2 } \over {E^2 - 7E + 10}} \cdot {E \over {E - 1}}\delta \left[ n \right]y[n]=E2−7E+10b0​E2+b1​E+b2​​⋅E−1E​δ[n]=(b0+b1+b24EE−1+4b0+2b1+b2−3EE−2+25b0+5b1+b212EE−5)δ[n]= \left( {{{{{b_0 + b_1 + b_2 } \over 4}E} \over {E - 1}} + {{{{4b_0 + 2b_1 + b_2 } \over { - 3}}E} \over {E - 2}} + {{{{25b_0 + 5b_1 + b_2 } \over {12}}E} \over {E - 5}}} \right)\delta \left[ n \right]=(E−14b0​+b1​+b2​​E​+E−2−34b0​+2b1​+b2​​E​+E−51225b0​+5b1​+b2​​E​)δ[n]=(4b0+2b1+b2−32n+25b0+5b1+b2125n+b0+b1+b24)u[n]= \left( {{{4b_0 + 2b_1 + b_2 } \over { - 3}}2^n + {{25b_0 + 5b_1 + b_2 } \over {12}}5^n + {{b_0 + b_1 + b_2 } \over 4}} \right)u\left[ n \right]=(−34b0​+2b1​+b2​​2n+1225b0​+5b1​+b2​​5n+4b0​+b1​+b2​​)u[n]

再根据已知的：y[n]=(2n+3⋅5n+10)u[n]y\left[ n \right] = \left( {2^n + 3 \cdot 5^n + 10} \right)u\left[ n \right]y[n]=(2n+3⋅5n+10)u[n]

对比前面的算子表达式，可得：

25b0+5b1+b2=3625b_0 + 5b_1 + b_2 = 3625b0​+5b1​+b2​=364b0+2b1+b2=−34b_0 + 2b_1 + b_2 = - 34b0​+2b1​+b2​=−3b0+b1+b2=40b_0 + b_1 + b_2 = 40b0​+b1​+b2​=40
解方程，求得：
b0=14,b1=−85,b2=111b_0 = 14,\,\,b_1 = - 85,\,\,b_2 = 111b0​=14,b1​=−85,b2​=111

所以系统的差分方程为：

y[n]−7y[n−1]+10y[n−2]=14x[n]−85x[n−1]+111x[n−2]y\left[ n \right] - 7y\left[ {n - 1} \right] + 10y\left[ {n - 2} \right] = 14x\left[ n \right] - 85x\left[ {n - 1} \right] + 111x\left[ {n - 2} \right]y[n]−7y[n−1]+10y[n−2]=14x[n]−85x[n−1]+111x[n−2]

2.第二小问

根据线性是不变系统的特性可知：

当输入为x1[n]=u[n−10]x_1 \left[ n \right] = u\left[ {n - 10} \right]x1​[n]=u[n−10]时，输出为：y1[n]=[2n−10+3⋅5n−10+10]u[n−10]y_1 \left[ n \right] = \left[ {2^{n - 10} + 3 \cdot 5^{n - 10} + 10} \right]u\left[ {n - 10} \right]y1​[n]=[2n−10+3⋅5n−10+10]u[n−10]

当输入为：x2[n]=2u[n]x_2 \left[ n \right] = 2u\left[ n \right]x2​[n]=2u[n]时，输出为：y2[n]=2y[n]=2[2n+3⋅5n+10]u[n]y_2 \left[ n \right] = 2y\left[ n \right] = 2\left[ {2^n + 3 \cdot 5^n + 10} \right]u\left[ n \right]y2​[n]=2y[n]=2[2n+3⋅5n+10]u[n]

所以当输入为：x[n]=2{u[n]−u[n−10]}x\left[ n \right] = 2\left\{ {u\left[ n \right] - u\left[ {n - 10} \right]} \right\}x[n]=2{u[n]−u[n−10]} 时的系统输出为：

y[n]=2{[2n+3⋅5n+10]u[n]−[2n−10+3⋅5n−10+10]u[n−10]}y\left[ n \right] = 2\left\{ {\left[ {2^n + 3 \cdot 5^n + 10} \right]u\left[ n \right] - \left[ {2^{n - 10} + 3 \cdot 5^{n - 10} + 10} \right]u\left[ {n - 10} \right]} \right\}y[n]=2{[2n+3⋅5n+10]u[n]−[2n−10+3⋅5n−10+10]u[n−10]}

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■ 相关文献链接:

• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第二道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第三道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第四道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第六道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第七道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第八道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第九道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十一道题

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