本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

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9. 已知因果线性时不变系统的输入输出之间的微分方程为：

ddty(t)+5y(t)=∫−∞∞x(τ)f(t−τ)dτ−x(t){d \over {dt}}y\left( t \right) + 5y\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( \tau \right)f\left( {t - \tau } \right)d\tau } - x\left( t \right)dtd​y(t)+5y(t)=∫−∞∞​x(τ)f(t−τ)dτ−x(t)

其中：f(t)=e−tu(t)+3δ(t)f\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right) + 3\delta \left( t \right)f(t)=e−tu(t)+3δ(t)。

求该系统的单位脉冲响应：h(t)h\left( t \right)h(t)。

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根据卷积的定义：∫−∞∞e(τ)f(t−τ)dτ=e(t)∗f(t)\int_{ - \infty }^\infty {e\left( \tau \right)f\left( {t - \tau } \right)d\tau } = e\left( t \right) * f\left( t \right)∫−∞∞​e(τ)f(t−τ)dτ=e(t)∗f(t)

所以输入输出方程可以写为：ddtr(t)+5r(t)=e(t)∗f(t)−e(t){d \over {dt}}r\left( t \right) + 5r\left( t \right) = e\left( t \right) * f\left( t \right) - e\left( t \right)dtd​r(t)+5r(t)=e(t)∗f(t)−e(t)

其中e(t)e\left( t \right)e(t)是系统的输入，r(t)r\left( t \right)r(t)是系统的输出。

由于δ(t)\delta \left( t \right)δ(t)与h(t)h\left( t \right)h(t)是系统的输入、输出关系，所以他们满足：
ddth(t)+5h(t)=δ(t)∗f(t)−δ(t)=f(t)−δ(t){d \over {dt}}h\left( t \right) + 5h\left( t \right) = \delta \left( t \right) * f\left( t \right) - \delta \left( t \right) = f\left( t \right) - \delta \left( t \right)dtd​h(t)+5h(t)=δ(t)∗f(t)−δ(t)=f(t)−δ(t)

再将f(t)=e−tu(t)+3δ(t)f\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right) + 3\delta \left( t \right)f(t)=e−tu(t)+3δ(t)代入上式，有：ddth(t)+5h(t)=e−tu(t)+2δ(t){d \over {dt}}h\left( t \right) + 5h\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right) + 2\delta \left( t \right)dtd​h(t)+5h(t)=e−tu(t)+2δ(t)

可以使用经典的微分方程求解三部曲的方法求解上述微分方程，从而得到系统的单位冲激响应h(t)h\left( t \right)h(t)。

为了简便，这里引入微分算子求解上述微分方程，考虑到：e−tu(t)=1p+1δ(t)e^{ - t} u\left( t \right) = {1 \over {p + 1}}\delta \left( t \right)e−tu(t)=p+11​δ(t)

(p+5)h(t)=1p+1δ(t)+2δ(t)\left( {p + 5} \right)h\left( t \right) = {1 \over {p + 1}}\delta \left( t \right) + 2\delta \left( t \right)(p+5)h(t)=p+11​δ(t)+2δ(t)

h(t)=1p+5⋅1p+1δ(t)+2p+5δ(t)h\left( t \right) = {1 \over {p + 5}} \cdot {1 \over {p + 1}}\delta \left( t \right) + {2 \over {p + 5}}\delta \left( t \right)h(t)=p+51​⋅p+11​δ(t)+p+52​δ(t)

=(−14p+5+14p+1)δ(t)+2p+5δ(t)= \left( {{{ - {1 \over 4}} \over {p + 5}} + {{{1 \over 4}} \over {p + 1}}} \right)\delta \left( t \right) + {2 \over {p + 5}}\delta \left( t \right)=(p+5−41​​+p+141​​)δ(t)+p+52​δ(t)

所以：h(t)=(74e−5t+14e−t)u(t)h\left( t \right) = \left( {{7 \over 4}e^{ - 5t} + {1 \over 4}e^{ - t} } \right)u\left( t \right)h(t)=(47​e−5t+41​e−t)u(t)

求解微分方程，可以使用经典的求解过程，也可以利用上面的算子法。实际上到课程后面第五章之后，可以使用拉普拉斯变换来简化微分方程的求解过程。算子法实际上是拉普拉斯变换求解过程。

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■ 相关文献链接:

• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第二道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第三道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第四道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第五道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第六道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第七道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第八道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第九道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十道题
• 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第十一道题

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