上下界网络流

2021.9.3

无源汇上下界可行流

之前的最大流讨论一般为有源无下届情况，那么无源汇有上下界可行流应如何求解？

首先要做的是消除下边界，应如何做？在有下届情形下，流网络中的任意一条边的可行流应满足fmin(u,v)≤c(u,v)≤fmax(u,v)fmin(u, v) \le c(u, v) \le fmax(u, v)fmin(u,v)≤c(u,v)≤fmax(u,v),由此可变换公式得0≤c(u,v)−fmin(u,v)≤fmax(u,v)−fmin(u,v)0 \le c(u, v) - fmin(u, v) \le fmax(u, v) - fmin(u, v)0≤c(u,v)−fmin(u,v)≤fmax(u,v)−fmin(u,v)，此时，构建的流网络中边的下届均为000.

但是，此时引入了新的问题：流量是否守恒？绝大部分情况下，不守恒。新网络中，由上方公式构建的可行流，排除下届后守恒，但是有如下情形:设当前点为iii，入边为jjj，出边为kkk,若∑jj⊂edge[i]fmin(j)!=∑kk⊂edge[i]fmin(k)\sum_{j}^{j \subset edge[i]}{fmin(j)} != \sum_{k}^{k \subset edge[i]}{fmin(k)}∑jj⊂edge[i]fmin(j)!=∑kk⊂edge[i]fmin(k) ，则此时总流量不守恒。

如何解决？已知本题类型为无源汇，因此每个结点，都可理解为一个源头。但不能直接从结点加入流量，若直接从结点算作无限流量，则无法保证整条路中的流量守恒。

此时可加入一个虚拟源点SSS和一个虚拟汇点TTT，当一个结点i的入边下届小于出边下届，便从源点SSS向i连接一条最大流量为∑jj⊂edge[i]fmin(j)−∑kk⊂edge[i]fmin(k)\sum_{j}^{j \subset edge[i]}{fmin(j)} - \sum_{k}^{k \subset edge[i]}{fmin(k)}∑jj⊂edge[i]fmin(j)−∑kk⊂edge[i]fmin(k) 的边，当iii的入边下届大于出边下届，便从iii向TTT连接一条最大流量为∑kk⊂edge[i]fmin(k)−∑jj⊂edge[i]fmin(j)\sum_{k}^{k \subset edge[i]}{fmin(k)} - \sum_{j}^{j \subset edge[i]}{fmin(j)}∑kk⊂edge[i]fmin(k)−∑jj⊂edge[i]fmin(j) 的边，由此保证了整个网络的流量守恒−-−流量中每条边的流量之和等于每个结点产生的流量，此时可把每个点产生的流量转移到我们自行添加的虚拟源点之上。

代码

cin >> n >> m;
S = 0, T = n + 1;
memset(head, -1, sizeof head);
for (int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c, d;cin >> a >> b >> c >> d;add(a, b, c, d);A[a] -= c, A[b] += c;
}
int tot = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {if (A[i] > 0)add(S, i, 0, A[i]), tot += A[i];else if (A[i] < 0)add(i, T, 0, -A[i]);
}//上述add函数为
void add(int a, int b, int c, int d) {to[idx] = b, wei[idx] = d - c, l[idx] = c, nexte[idx] = head[a], head[a] = idx++;to[idx] = a, wei[idx] = 0, nexte[idx] = head[b], head[b] = idx++;
}

这时候问题就转化成了与https://blog.csdn.net/Tinberlake/article/details/119751664?spm=1001.2014.3001.5501上相同的有源求最大流问题，此时每个边在原图中的流量就是新图中计算的流量加上其下届流量fmin(u,v)+c′(u,v)fmin(u, v) + c'(u, v)fmin(u,v)+c′(u,v) 。

有源汇上下界最大流

此时的网络中有源点，每个结点只能接受从源点汇来的流量，无法同无源汇上下界可行流一样通过填补每个结点的流量进行计算。

此时如何求得网络的最大流？此时，先将题目中的源点与汇点定义为sss与ttt，另新建两虚拟结点SSS与TTT，建立一条ttt到sss可行流量为无穷的边，此时先将问题转化成了无源汇上下界可行流。

那么，为何从汇点到源点建立一条流量为正无穷的边？保证流量守恒。

若要求最大流，则从sss到ttt的流量一定为正，0≤c(s,t)0 \le c(s, t)0≤c(s,t) ，若要保证新图与旧图流量守恒的一致，则需要在ttt到sss之间建立一条流量为无穷的边。

那么，对于新图中流量若小于从虚拟源点流出的最大流，则可证明没有一条可行流满足从sss到ttt，此时存在边不满足下届。

当新图中的流量不小于虚拟源点流出的最大流，此时截断从ttt到sss流量为无穷的边，并将此边的逆边流量记录为resresres。将源汇点更改为sss与ttt，那么，新图中sss到ttt的残留网络的最大流加上resresres即为有源汇上下界最大流的流量。

为何？新图中无源汇的可行流构建了一个可行流，这个可行流最大时，代表所有结点的流量均守恒，此时的残留网络，若去除ttt到sss之间流量为无穷的结点，则代表此时除去这两点外，其余所有点的流量均守恒。这两点作为源点与汇点，不必守恒，因此此时计算去边后残留网络的最大流，可以保证整个网络的流量是守恒的。又因为，新图中原本sss到ttt的不守恒流量的大小，就是被截断边的逆边的流量，因此sss到ttt的最大可行流就是resresres加新图中sss到ttt的残留网络的最大流。

代码

cin >> n >> m >> s >> t;
S = 0, T = n + 1;
memset(head, -1, sizeof head);
while(m--){int a, b, c, d;cin >> a >> b >> c >> d;add(a, b, d - c);A[a] -= c, A[b] += c;
}
int all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){if(A[i] > 0) add(S, i, A[i]), all += A[i];else if(A[i] < 0) add(i, T, -A[i]);
}
add(t, s, INF);
if(dinic() < all) cout << "No Solution\n";
else{int ans = wei[idx - 1];S = s, T = t;wei[idx - 1] = wei[idx - 2] = 0;cout << ans + dinic() << '\n';
}//上述add函数为
void add(int a,int b, int c){to[idx] = b, wei[idx] = c, nexto[idx] = head[a], head[a] = idx++;to[idx] = a, wei[idx] = 0, nexto[idx] = head[b], head[b] = idx++;
}

有源汇上下界最小流

根据有源汇上下界最大流的相关计算，可知若要sss到ttt是最小流，则此时ttt到sss的可行流最大，因此只需按有源汇上下界最大流建图后，更改源汇点为ttt与sss即可。

代码

cin >> n >> m >> s >> t;
S = 0, T = n + 1;
memset(head, -1, sizeof head);
while(m--){int a, b, c, d;cin >> a >> b >> c >> d;add(a, b, d - c);A[a] -= c, A[b] += c;
}
int all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){if(A[i] > 0) add(S, i, A[i]), all += A[i];else if(A[i] < 0) add(i, T, -A[i]);
}
add(t, s, INF);
if(dinic() < all) cout << "No Solution\n";
else{int ans = wei[idx - 1];S = t, T = s;wei[idx - 1] = wei[idx - 2] = 0;cout << ans - dinic() << '\n';
}