本文是 2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案 中的小题解答。

▌第三小题 ▌

3、已知FT[f(t)]=F(ω)FT\left[ {f\left( t \right)} \right] = F\left( \omega \right)FT[f(t)]=F(ω)，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换。

注释：显然，这个题目就是希望通过傅里叶变换的性质，完成信号傅里叶变换公式推导。
1：尺度，时域位移
2: 线性，频域微分(时域线性加权)
3: 尺度，频域微分
4：时域微分，频域微分
5：尺度，时域位移
6：线性，位移，反褶，频域微分
7：线性，尺度，反褶，频域微分

要求：只做（1）（3）（5）（7）

※ 求解：

（1）第一小题

f(2t−5)f\left( {2t - 5} \right)f(2t−5)f(t)↔F(ω)f\left( t \right) \leftrightarrow F\left( \omega \right)f(t)↔F(ω)f(2t)↔12F(ω2)f\left( {2t} \right) \leftrightarrow {1 \over 2}F\left( {{\omega \over 2}} \right)f(2t)↔21F(2ω)f[2(t−52)]↔12F(ω2)⋅ej52ωf\left[ {2\left( {t - {5 \over 2}} \right)} \right] \leftrightarrow {1 \over 2}F\left( {{\omega \over 2}} \right) \cdot e^{j{5 \over 2}\omega }f[2(t−25)]↔21F(2ω)⋅ej25ω

（2）第二小题

(t−2)⋅f(t)\left( {t - 2} \right) \cdot f\left( t \right)(t−2)⋅f(t)−jt⋅f(t)↔ddωF(ω)- jt \cdot f\left( t \right) \leftrightarrow {d \over {d\omega }}F\left( \omega \right)−jt⋅f(t)↔dωdF(ω)t⋅f(t)↔jddωF(ω)t \cdot f\left( t \right) \leftrightarrow j{d \over {d\omega }}F\left( \omega \right)t⋅f(t)↔jdωdF(ω)(t−2)⋅f(t)↔jF′(ω)−2F(ω)\left( {t - 2} \right) \cdot f\left( t \right) \leftrightarrow jF'\left( \omega \right) - 2F\left( \omega \right)(t−2)⋅f(t)↔jF′(ω)−2F(ω)

（3）第三小题

a.解法1

t⋅f(2t)t \cdot f\left( {2t} \right)t⋅f(2t)t⋅f(t)↔jddωF(ω)t \cdot f\left( t \right) \leftrightarrow j{d \over {d\omega }}F\left( \omega \right)t⋅f(t)↔jdωdF(ω)2t⋅f(2t)↔12jddω2F(ω2)=jddωF(ω2)2t \cdot f\left( {2t} \right) \leftrightarrow {1 \over 2}j{d \over {d{\omega \over 2}}}F\left( {{\omega \over 2}} \right) = j{d \over {d\omega }}F\left( {{\omega \over 2}} \right)2t⋅f(2t)↔21jd2ωdF(2ω)=jdωdF(2ω)t⋅f(2t)↔12jddω2F(ω2)=j2ddωF(ω2)t \cdot f\left( {2t} \right) \leftrightarrow {1 \over 2}j{d \over {d{\omega \over 2}}}F\left( {{\omega \over 2}} \right) = {j \over 2}{d \over {d\omega }}F\left( {{\omega \over 2}} \right)t⋅f(2t)↔21jd2ωdF(2ω)=2jdωdF(2ω)=j2⋅(ddωF)(ω2)⋅12=j4⋅F′(ω2)= {j \over 2} \cdot \left( {{d \over {d\omega }}F} \right)\left( {{\omega \over 2}} \right) \cdot {1 \over 2}\,\, = {j \over 4} \cdot F'\left( {{\omega \over 2}} \right)=2j⋅(dωdF)(2ω)⋅21=4j⋅F′(2ω)

b.解法2：

f(2t)↔12F(ω2)f\left( {2t} \right) \leftrightarrow {1 \over 2}F\left( {{\omega \over 2}} \right)f(2t)↔21F(2ω)

t⋅f(2t)↔jddω12[F(ω2)]=j2ddωF(ω2)t \cdot f\left( {2t} \right) \leftrightarrow j{d \over {d\omega }}{1 \over 2}\left[ {F\left( {{\omega \over 2}} \right)} \right] = {j \over 2}{d \over {d\omega }}F\left( {{\omega \over 2}} \right)t⋅f(2t)↔jdωd21[F(2ω)]=2jdωdF(2ω)=j2⋅F′(ω2)⋅12=j4⋅F′(ω2)= {j \over 2} \cdot F'\left( {{\omega \over 2}} \right) \cdot {1 \over 2}\,\, = {j \over 4} \cdot F'\left( {{\omega \over 2}} \right)=2j⋅F′(2ω)⋅21=4j⋅F′(2ω)

（4）第四小题

df(t)dt↔jω⋅F(ω){{df\left( t \right)} \over {dt}} \leftrightarrow j\omega \cdot F\left( \omega \right)dtdf(t)↔jω⋅F(ω)

t⋅df(t)dt↔jddω[jω⋅F(ω)]t \cdot {{df\left( t \right)} \over {dt}} \leftrightarrow j{d \over {d\omega }}\left[ {j\omega \cdot F\left( \omega \right)} \right]t⋅dtdf(t)↔jdωd[jω⋅F(ω)]=j[ddω(jω)⋅F(ω)+jω⋅ddωF(ω)]= j\left[ {{d \over {d\omega }}\left( {j\omega } \right) \cdot F\left( \omega \right) + j\omega \cdot {d \over {d\omega }}F\left( \omega \right)} \right]=j[dωd(jω)⋅F(ω)+jω⋅dωdF(ω)]=−F(ω)−ω⋅F′(ω)= - F\left( \omega \right) - \omega \cdot F'\left( \omega \right)=−F(ω)−ω⋅F′(ω)

（5）第五小题

f(−t)↔F(−ω)f\left( { - t} \right) \leftrightarrow F\left( { - \omega } \right)f(−t)↔F(−ω)f[−(t−1)]↔F(−ω)⋅e−jωf\left[ { - \left( {t - 1} \right)} \right] \leftrightarrow F\left( { - \omega } \right) \cdot e^{ - j\omega }f[−(t−1)]↔F(−ω)⋅e−jωf(1−t)↔F(−ω)⋅e−jωf\left( {1 - t} \right) \leftrightarrow F\left( { - \omega } \right) \cdot e^{ - j\omega }f(1−t)↔F(−ω)⋅e−jω

（6）第六小题

a) 解法1：

t⋅f(t)↔j⋅ddωF(ω)=j⋅F′(ω)t \cdot f\left( t \right) \leftrightarrow j \cdot {d \over {d\omega }}F\left( \omega \right) = j \cdot F'\left( \omega \right)t⋅f(t)↔j⋅dωdF(ω)=j⋅F′(ω)(−t)⋅f(−t)↔j⋅F′(−ω)\left( { - t} \right) \cdot f\left( { - t} \right) \leftrightarrow j \cdot F'\left( { - \omega } \right)(−t)⋅f(−t)↔j⋅F′(−ω)[−(t−1)]⋅f[−(t−1)]↔j⋅F′(−ω)⋅e−jω\left[ { - \left( {t - 1} \right)} \right] \cdot f\left[ { - \left( {t - 1} \right)} \right] \leftrightarrow j \cdot F'\left( { - \omega } \right) \cdot e^{ - j\omega }[−(t−1)]⋅f[−(t−1)]↔j⋅F′(−ω)⋅e−jω(1−t)⋅f(1−t)↔j⋅F′(−ω)⋅e−jω\left( {1 - t} \right) \cdot f\left( {1 - t} \right) \leftrightarrow j \cdot F'\left( { - \omega } \right) \cdot e^{ - j\omega }(1−t)⋅f(1−t)↔j⋅F′(−ω)⋅e−jω

b）解法2：

（7）第七小题

▌附件 ▌

▓ 第六次作业各个小题求解：

2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第五小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第六小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第七小题
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