本文是 2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案 中的小题解答。

▌第一小题 ▌

1、下面所示的锯齿脉冲与单周期正弦脉冲的傅里叶变换：

提示：
（1）需要在计算时，利用到分部积分；
（2）请参考第一大题，将sin函数换成复指数的叠加，在进行计算，方便一些。

要求：只做第一题

※ 求解：

（1）第一小题

F(ω)=∫−T2T22ET⋅t⋅e−jωtdt=2ET⋅∫−T2T2e−jωt⋅t⋅dtF\left( \omega \right) = \int_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} {{{2E} \over T} \cdot t \cdot e^{ - j\omega t} dt} = {{2E} \over T} \cdot \int_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} {e^{ - j\omega t} \cdot t \cdot dt}F(ω)=∫−2T2TT2E⋅t⋅e−jωtdt=T2E⋅∫−2T2Te−jωt⋅t⋅dt=2ET1−jω∫−T2T2t⋅de−jωt= {{2E} \over T}{1 \over { - j\omega }}\int_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} {t \cdot de^{ - j\omega t} }=T2E−jω1∫−2T2Tt⋅de−jωt=2ETjω(t⋅e−jωt∣−T2T2−jω∫−T2T2de−jωt)= {{2E} \over T}{j \over \omega }\left( {\left. {t \cdot e^{ - j\omega t} } \right|_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} - {j \over \omega }\int_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} {de^{ - j\omega t} } } \right)=T2Eωj(t⋅e−jωt∣∣−2T2T−ωj∫−2T2Tde−jωt)=2EjωT[(T2⋅e−jωT2+T2⋅ejωT2)−jω(e−jωT2−ejωT2)]= {{2Ej} \over {\omega T}}\left[ {\left( {{T \over 2} \cdot e^{ - j\omega {T \over 2}} + {T \over 2} \cdot e^{{{j\omega T} \over 2}} } \right) - {j \over \omega }\left( {e^{{{ - j\omega T} \over 2}} - e^{{{j\omega T} \over 2}} } \right)} \right]=ωT2Ej[(2T⋅e−jω2T+2T⋅e2jωT)−ωj(e2−jωT−e2jωT)]=2jEωT[T2⋅2cos⁡(ωT2)−jω(−2j)⋅sin⁡(ωT2)]= {{2jE} \over {\omega T}}\left[ {{T \over 2} \cdot 2\cos \left( {{{\omega T} \over 2}} \right) - {j \over \omega }\left( { - 2j} \right) \cdot \sin \left( {{{\omega T} \over 2}} \right)} \right]=ωT2jE[2T⋅2cos(2ωT)−ωj(−2j)⋅sin(2ωT)]=2jEωT⋅(T⋅cos⁡ωT2−2ω⋅sin⁡ωT2)= {{2jE} \over {\omega T}} \cdot \left( {T \cdot \cos {{\omega T} \over 2} - {2 \over \omega } \cdot \sin {{\omega T} \over 2}} \right)=ωT2jE⋅(T⋅cos2ωT−ω2⋅sin2ωT)=2jEωcos⁡(ωT2)−4jEω2Tsin⁡(ωT2)= {{2jE} \over \omega }\cos \left( {{{\omega T} \over 2}} \right) - {{4jE} \over {\omega ^2 T}}\sin \left( {{{\omega T} \over 2}} \right)=ω2jEcos(2ωT)−ω2T4jEsin(2ωT)

（2）第二小题

F(ω)=∫0TE⋅sin⁡(2πT⋅t)e−jωtdtF\left( \omega \right) = \int_0^T {E \cdot \sin \left( {{{2\pi } \over T} \cdot t} \right)e^{ - j\omega t} dt}F(ω)=∫0TE⋅sin(T2π⋅t)e−jωtdt=E2j⋅∫0T(ej2πTt−e−j2πTt)⋅e−jωtdt= {E \over {2j}} \cdot \int_0^T {\left( {e^{j{{2\pi } \over T}t} - e^{ - j{{2\pi } \over T}t} } \right) \cdot e^{ - j\omega t} dt}=2jE⋅∫0T(ejT2πt−e−jT2πt)⋅e−jωtdt=E2j⋅∫0Tej(2πT−ω)tdt−∫0Te−j(2πT+ω)tdt= {E \over {2j}} \cdot \int_0^T {e^{j\left( {{{2\pi } \over T} - \omega } \right)t} dt} - \int_0^T {e^{ - j\left( {{{2\pi } \over T} + \omega } \right)t} dt}=2jE⋅∫0Tej(T2π−ω)tdt−∫0Te−j(T2π+ω)tdt=E2j[1j(2πT−ω)(ej(2πT−ω)⋅T−1)+1j(2πT+ω)(e−j(2πT+ω)⋅T−1)]= {E \over {2j}}\left[ {{1 \over {j\left( {{{2\pi } \over T} - \omega } \right)}}\left( {e^{j\left( {{{2\pi } \over T} - \omega } \right) \cdot T} - 1} \right) + {1 \over {j\left( {{{2\pi } \over T} + \omega } \right)}}\left( {e^{ - j\left( {{{2\pi } \over T} + \omega } \right) \cdot T} - 1} \right)} \right]=2jE[j(T2π−ω)1(ej(T2π−ω)⋅T−1)+j(T2π+ω)1(e−j(T2π+ω)⋅T−1)]=E2j⋅[e−jωT−1j(2πT−ω)+e−jωT−1j(2πT+ω)]= {E \over {2j}} \cdot \left[ {{{e^{ - j\omega T} - 1} \over {j\left( {{{2\pi } \over T} - \omega } \right)}} + {{e^{ - j\omega T} - 1} \over {j\left( {{{2\pi } \over T} + \omega } \right)}}} \right]=2jE⋅[j(T2π−ω)e−jωT−1+j(T2π+ω)e−jωT−1]=E2(1−e−jωT)⋅24πT⋅T4π2T2−ω2T2=2πTE(1−e−jωT)4π2−ω2T2= {E \over 2}\left( {1 - e^{ - j\omega T} } \right) \cdot {{2{{4\pi } \over T} \cdot T} \over {{{4\pi ^2 } \over {T^2 }} - \omega ^2 T^2 }} = {{2\pi TE\left( {1 - e^{ - j\omega T} } \right)} \over {4\pi ^2 - \omega ^2 T^2 }}=2E(1−e−jωT)⋅T24π2−ω2T22T4π⋅T=4π2−ω2T22πTE(1−e−jωT)=2πTE4π2−ω2T2(1−cos⁡ωT−jsin⁡ωT)= {{2\pi TE} \over {4\pi ^2 - \omega ^2 T^2 }}\left( {1 - \cos \omega T - j\sin \omega T} \right)=4π2−ω2T22πTE(1−cosωT−jsinωT)

▌附件 ▌

▓ 第六次作业各个小题求解：

2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第六次作业参考答案-第四小题
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