Tourists【广义圆方树+树链剖分+方点的特别优化】

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CodeForces - 487E

题意：有N个点，M条边，有Q次询问，每次有两种询问的方式：

C X Y 将X点的权值改变成Y
A U V询问从u到v的不经过重复点的路径上的最小点权

所以，看到有环的问题，就是直接往圆方树上套了，直接缩点，然后我们对缩点之后的树进行处理，于是我不经过任何优化的TLE在了第18组。为什么会TLE呢？其实很简单，就是我们需要去给方点保存权值，影响方点的权值是它周围所有的点，它的父亲结点，和它的子结点，很显然一件事就是当我们更新一个点的时候，它作为父亲结点的时候，会影响的方点比较多的时候，我们会直接使得复杂度上升到 $O(N^2)$ ，这显然是我们不愿意看到的，于是猜测了一发数据随机交了试了试水，TLE。

那么，就是优化方点的问题了，其实突破口也是在方点的父亲上，如果说我们把方点的权值定义为其儿子结点的最小值的话，那么可以使用每次单点更新的复杂度降至 $O(log(N))$ 级别的，又能够发现，所有的方点的父亲，如果我们的LCA会经过它的父亲，那么它的父亲的贡献实际上是已经算进去了，如果说，我们跑LCA没经过它的父亲，那么只有一种可能，它就是LCA点，所以，对于方点是LCA点的时候，我们再特别判断一下即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 2e5 + 7, maxM = 2e5 + 7;
int N, M, Q, w[maxN];
struct Graph
{int head[maxN], cnt;struct Eddge{int nex, to;Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}} edge[maxM << 1];inline void addEddge(int u, int v){edge[cnt] = Eddge(head[u], v);head[u] = cnt++;}inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); }inline void init(){cnt = 0;for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;}
} Old, Now;
int dfn[maxN], tot, low[maxN], Stap[maxN], Stop, Bcnt;
multiset<int> st[maxN];
multiset<int>::iterator it;
void Tarjan(int u, int fa)
{dfn[u] = low[u] = ++tot;Stap[++Stop] = u;for(int i=Old.head[u], v, p; ~i; i=Old.edge[i].nex){v = Old.edge[i].to;if(v == fa) continue;if(!dfn[v]){Tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if(low[v] >= dfn[u]){Bcnt++; Now.head[Bcnt + N] = -1;do{p = Stap[Stop--];Now._add(p, N + Bcnt);} while(p ^ v);Now._add(u, N + Bcnt);}}else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}
int siz[maxN], Wson[maxN], deep[maxN], fa[maxN];
void dfs_1(int u, int father)
{deep[u] = deep[father] + 1; siz[u] = 1; fa[u] = father;if(father > N) { st[father - N].insert(w[u]); }int maxx = 0;for(int i=Now.head[u], v; ~i; i=Now.edge[i].nex){v = Now.edge[i].to;if(v == father) continue;dfs_1(v, u);if(siz[v] > maxx){maxx = siz[v];Wson[u] = v;}siz[u] += siz[v];}
}
int top[maxN], id[maxN], _Index, Wv[maxN];
void dfs_2(int u, int topy)
{top[u] = topy; id[u] = ++_Index; Wv[_Index] = u > N ? (*st[u - N].begin()) : w[u];if(Wson[u]) dfs_2(Wson[u], topy);for(int i=Now.head[u], v; ~i; i=Now.edge[i].nex){v = Now.edge[i].to;if(v == fa[u] || v == Wson[u]) continue;dfs_2(v, v);}
}
struct BIT_Tree
{int tree[maxN << 2];void buildTree(int rt, int l, int r){if(l == r) { tree[rt] = Wv[l]; return; }int mid = HalF;buildTree(Lson); buildTree(Rson);tree[rt] = min(tree[lsn], tree[rsn]);}void update(int rt, int l, int r, int qx, int val){if(l == r) { tree[rt] = val; return; }int mid = HalF;if(qx <= mid) update(Lson, qx, val);else update(Rson, qx, val);tree[rt] = min(tree[lsn], tree[rsn]);}int query(int rt, int l, int r, int ql, int qr){if(ql <= l && qr >= r) return tree[rt];int mid = HalF;if(qr <= mid) return query(QL);else if(ql > mid) return query(QR);else return min(query(QL), query(QR));}inline int Q_Range(int u, int v){int ans = INF;while(top[u] ^ top[v]){if(deep[top[u]] < deep[top[v]]) swap(u, v);ans = min(ans, query(1, 1, N + Bcnt, id[top[u]], id[u]));u = fa[top[u]];}if(deep[u] < deep[v]) swap(u, v);ans = min(ans, query(1, 1, N + Bcnt, id[v], id[u]));if(v > N) ans = min(ans, w[fa[v]]);return ans;}inline void Point_update(int u, int val){int p = fa[u] - N;if(p > 0){it = st[p].find(w[u]);st[p].erase(it);st[p].insert(val);update(1, 1, N + Bcnt, id[p + N], *st[p].begin());}w[u] = val; Wv[id[u]] = val;update(1, 1, N + Bcnt, id[u], val);}
} tree;
inline void init()
{tot = Bcnt = Stop = _Index = 0;Old.init(); Now.init();
}
int main()
{scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q); init();for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &w[i]);for(int i=1, u, v; i<=M; i++){scanf("%d%d", &u, &v);Old._add(u, v);}for(int i=1; i<=N; i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i, 0);dfs_1(1, 0);dfs_2(1, 1);tree.buildTree(1, 1, N + Bcnt);char op[3]; int x, y;while(Q--){scanf("%s%d%d", op, &x, &y);if(op[0] == 'C') tree.Point_update(x, y);else printf("%d\n", tree.Q_Range(x, y));}return 0;
}

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