置信区间、P值那点事

在假设检验中，我们常常看到跟P值形影不离的一对区间值，就是大名鼎鼎的置信区间了。这置信区间和P值是怎么得来的，我想大多数盆友都不会有什么直观的概念，只会注意P值是否小于0.05或者0.01(根据显著性水平确定)。

为了给大伙说清楚置信区间和P值的梗，小编以比较常见的两独立样本t检验为例进行分析。样本数据如下：

使用SPSS进行t检验后结果如下：

在检验结果中，可以容易找到置信区间和P值，下面我们一步一步来实现得到这两组值，并且配合R语言代码来实践一遍，诸位可以跟着一起做哦。

第一步：确定两样本的统计量

参考Group Statistics表，可以看到

样本量都是       5
样本均值分别是   33.00   和 44.60
样本标准差分别是 3.87298 和 3.84708

其中，样本量、样本均值、样本方差都是比较基础的统计量，相信看官都明白怎么来的，不是很清楚的请翻看统计学入门书籍即可。

对于样本均值标准差(Std.Error Mean)，就不那么常见了，这里解释一下：

虽然统计学学过总体均值方差，但是真实情况下很少能拿到总体数据，大多数情况都是用抽样的方法对总体进行估计。对于例子中双样本t检验，并不是看两样本是否相互独立（样本均值是否差异显著），而是要估计两样本均值的总体分布是否有差异。比如，我们想知道学校男生女生身高是否有差异，将所有男生女生进行测量分别求平均比较成本很高。因此各随机抽取男女生100名，测量身高，然后通过这100对样本的假设检验来说明学校男女学生身高是否存在差异。

第二步：确定两样本均值抽样分布的统计量

现在已知样本的均值和标准差，那怎么估计样本均值的抽样分布的统计量呢？

现在我们构造出了两样本均值抽样分布的统计量，那么就可以用来进行假设检验了。

第三步：两样本均值抽样分布的假设检验

假设检验的零假设就是X1总体和X2总体的均值没有差异

则 X1-X2服从

t统计量为：-11.6/2.44131 = -4.752 服从自由度为8的t分布。
我们可以查找t分布表或者使用统计软件计算，当统计量为 -4.752 时，累积概率分布为 0.001,远小于显著性水平0.05，则拒绝零假设，接受备择假设：两样本均值抽样总体有显著差异。

根据显著性水平， 我们可以得到该水平下的上限为2.306004个标准差。 因此置信区间计算如下：
下限： -11.6 - 2.306004 * 2.44131 = -17.22967
上限： -11.6 + 2.306004 * 2.44131 = -5.97033

就这样，我们将置信区间，还有P值都计算出来了。有兴趣的朋友可以实践下单样本t检验，熟悉一下。

知识补充：

正态分布
正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。
根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n，抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N（μ，σ2/n）。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)

t分布
由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。

假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从χ2（n）分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z～t(n)。