广义圆方树+树链剖分+set（Codeforces Round #278 (Div. 1): E. Tourists）

前置：双联通分量、圆方树、树链剖分

什是是广义圆方树

圆方树是针对于仙人掌建树，而广义圆方树是针对无向图建树，对于一个无向图

无向图中的所有点 → 广义圆方树中的所有圆点
无向图中的一个双联通分量 → 广义圆方树中的其中一个方点，这个方点向当前双联通分量中的所有点连边
无向图中的一条不在任何环中的边 → 广义圆方树中的其中一个方点，这个方点向当前边的两个端点连边

一张非常形象的图，来源于一个课件

其实看了这个图应该就什么都懂了，一些性质也很容易被发现hh

例如：广义图方树中一定是圆点方点相间，即圆点的父亲一定是方点，方点的父亲一定是圆点

一道例题：

https://codeforc.es/contest/487/problem/E

中文翻译：https://www.luogu.org/problemnew/show/CF487E

中文题意在上面那个链接里面

考虑起点u终点v，很容易发现答案就是u点到v点过程中经过的所有双联通分量中权值最小的那个点

建立广义圆方树，规定

所有圆点的权值 → 原图中点的权值
所有方点的权值 → 所有儿子的权值最小值（别忘了它所有儿子一定都是圆点）

对于每次询问

如果u和v的LCA是圆点 → 答案就是u到v这条路径的最小值
如果u和v的LCA是方点 → 答案就是u到v这条路径的最小值和方点父亲的值的最小值

修改就不用说了，然后这完全就是个树上修改+查询的模板问题，直接树链剖分+线段树就搞定了

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<string>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007
vector<int> G[200005], T[205005];
multiset<int> Set[205005];
stack<int> st;
int n, t, cnt, val[205005], Time[205005], low[205005];
typedef struct RST
{int tre[814396];int t, fa[205005], size[205005], hson[205005], top[205005], dep[205005], rak[205005], id[205005];void Sech1(int u, int p){int v, i;fa[u] = p, dep[u] = dep[p]+1;if(fa[u]>=n+1)Set[fa[u]].insert(val[u]);size[u] = 1;for(i=0;i<T[u].size();i++){v = T[u][i];if(v==p)continue;Sech1(v, u);size[u] += size[v];if(size[v]>size[hson[u]])hson[u] = v;}}void Sech2(int u, int p){int i, v;top[u] = p;rak[u] = ++t, id[t] = u;if(hson[u])Sech2(hson[u], p);for(i=0;i<T[u].size();i++){v = T[u][i];if(v==fa[u] || v==hson[u])continue;Sech2(v, v);}}void Update(int l, int r, int x, int a, int b){int m;if(l==r){tre[x] = b;return;}m = (l+r)/2;if(a<=m)Update(l, m, x*2, a, b);elseUpdate(m+1, r, x*2+1, a, b);tre[x] = min(tre[x*2], tre[x*2+1]);}int Query(int l, int r, int x, int a, int b){int m, now;now = 1044266558;if(l>=a && r<=b)return tre[x];m = (l+r)/2;if(a<=m)now = min(now, Query(l, m, x*2, a, b));if(b>=m+1)now = min(now, Query(m+1, r, x*2+1, a, b));return now;}int TreQuery(int x, int y){int now, p1, p2;p1 = top[x], p2 = top[y], now = 1044266558;while(p1!=p2){if(dep[p1]<dep[p2])swap(p1, p2), swap(x, y);now = min(now, Query(1, cnt, 1, rak[p1], rak[x]));x = fa[p1], p1 = top[x];}if(dep[x]>dep[y])swap(x, y);now = min(now, Query(1, cnt, 1, rak[x], rak[y]));if(x>=n+1)now = min(now, val[fa[x]]);return now;}
}RT;
RT RST;
void Trajan(int u, int p)
{int i, v, now;st.push(u);Time[u] = low[u] = ++t;for(i=0;i<G[u].size();i++){v = G[u][i];if(v==p)continue;if(Time[v]==0){Trajan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if(low[v]>=Time[u]){T[++cnt].push_back(u);T[u].push_back(cnt);while(st.empty()==0){now = st.top(), st.pop();T[cnt].push_back(now);T[now].push_back(cnt);if(now==v)break;}}}elselow[u] = min(low[u], Time[v]);}
}
void Update(int u, int c, int d)
{Set[u].erase(Set[u].find(c));Set[u].insert(d);
}
int main(void)
{char ch;int i, m, x, y, T;scanf("%d%d%d", &n, &m, &T);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d", &val[i]);cnt = n;for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d", &x, &y);G[x].push_back(y);G[y].push_back(x);}Trajan(1, 0);RST.Sech1(1, 0);RST.Sech2(1, 1);for(i=1;i<=n;i++)RST.Update(1, cnt, 1, RST.rak[i], val[i]);for(i=n+1;i<=cnt;i++)RST.Update(1, cnt, 1, RST.rak[i], *Set[i].begin());while(T--){scanf(" %c%d%d", &ch, &x, &y);if(ch=='C'){RST.Update(1, cnt, 1, RST.rak[x], y);if(RST.fa[x]){Update(RST.fa[x], val[x], y);RST.Update(1, cnt, 1, RST.rak[RST.fa[x]], *Set[RST.fa[x]].begin());}val[x] = y;}elseprintf("%d\n", RST.TreQuery(x, y));}return 0;
}

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