矩阵特征多项式的系数公式

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。 ——雷巴柯夫

关于 n n n阶矩阵的特征多项式，书上只给出了最高次项、次高次项和常数项：

∣ λ E − A ∣ = λ n − ( t r A ) λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n ∣ A ∣ . ( 1 ) |\lambda E-A|=\lambda^n-(tr A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|. \quad \quad (1) ∣λE−A∣=λn−(trA)λn−1+⋯+(−1)n∣A∣.(1)

你是不是很好奇：省略的项的系数如何计算呢？本文给出一个简单介绍。

1. 预备知识

矩阵的 k k k 阶主子式的概念：设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij). 其 k k k 阶主子式为 d e t A ( i 1 , i 2 , ⋯ , i k i 1 , i 2 , ⋯ , i k ) . det A \begin{pmatrix} i_1,i_2,\cdots,i_k \\ i_1,i_2,\cdots,i_k \end{pmatrix}. detA(i1,i2,⋯,iki1,i2,⋯,ik). 简单地说，就是在 A A A中取 i 1 , i 2 , ⋯ , i k i_1,i_2,\cdots,i_k i1,i2,⋯,ik行，同时取 i 1 , i 2 , ⋯ , i k i_1,i_2,\cdots,i_k i1,i2,⋯,ik列，这些行与列的交叉点的元素构成的子矩阵的行列式.

2 特征多项式的系数的一般公式

设 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 . f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0. f(λ)=∣λE−A∣=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0.
那么，
a n − i = ( − 1 ) i × A a_{n-i}=(-1)^i\times A an−i=(−1)i×A的所有 i i i阶主子式的和.

特别地，当 A A A为3阶矩阵时，

f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 + ( ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ + ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 11 a 13 a 31 a 33 ∣ ) λ − ∣ A ∣ . （ 2 ） f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+\left(\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22} &a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\right)\lambda-|A|. （2） f(λ)=∣λE−A∣=λ3−(a11+a22+a33)λ2+(∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣+∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣+∣∣∣∣a11a31a13a33∣∣∣∣)λ−∣A∣.（2）

3 应用

设 A = ( 1 2 3 2 1 4 3 4 1 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&4\\3&4&1\end{pmatrix} A=⎝⎛123214341⎠⎞,计算 A A A的特征多项式.

解： a 11 + a 22 + a 33 = 1 + 1 + 1 = 3 , a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+1+1=3, a11+a22+a33=1+1+1=3,

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ + ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 11 a 13 a 31 a 33 ∣ = − 26 , \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22} &a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}=-26, ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣+∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣+∣∣∣∣a11a31a13a33∣∣∣∣=−26,

∣ A ∣ = 20 , |A|=20, ∣A∣=20,

所以，

f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − 3 λ 2 − 26 λ − 20. f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^3-3\lambda^2-26\lambda-20. f(λ)=∣λE−A∣=λ3−3λ2−26λ−20.

4 公式的推导

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