单片机c语言如何实现幂方,自然数幂方和二项系数表示的系数公式.pdf

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山西师范大学学报 (自然科学版)

第22卷第3期 JournalofShanxiNormalUniversity V01．22 No．3

2008年9月 NaturalScienceEdition Sept．2008

文章编号：1009-4490(2008)03-0024-06

自然数幂方和二项系数表示的系数公式

孟凡申，朱益民，徐礼卡

(浙江工业大学浙西分校，浙江衢州 324000)

摘要：得到了自然数幂方和由二项系数表示的系数n”的公式和由排列数表示的系数的公式，证

明了系数存在唯一性及系数问的若干重要性质，给出了计算系数的c．语言程序．

关键词：自然数幂方和；递推关系式；二项系数；系数公式

中图分类号：0157 文献标识码：A

0 弓言『

自然数幂方和：s的研究是一个古老的数论问题，包括著名数学家陈景润在内的许多优秀数学家，

s= 1

都对此进行过深入地研究，得出了许多重要有益的结果；但这些结果中，公式中的系数都是递推形式，

没有系数直接由后、表出的一般求和公式．例如陈景润在文献 [3]中给出定理，在 s =口 c++

”c：++…+。”c 中，系数口”满足

口 = (口 +n”)，i=2，…，，Ⅱ“’=1，口：”=(k+1)n：” (1)

但并没有得出由后、直接计算口的代数表达式．本文利用行列式和二项系数的性质，得到了自然数幂方

和由二项系数表示的系数公式和由排列数表示的系数公式，从而得到了系数直接由k，表出的公式．为方

便应用(1)式，可约定：口：叭=1，ao' = ”=n =o(k≥1)．这样(1)式对i=1，2，…，k都成立．

1 主要结果和性质

定理 1 设n，k是任意两个自然数，则 1一n这n个自然数的k方和为

∑sk=al”c：+。+口”c：++…+口”c：： (2)

其中

n = ∑(一1,-sc；s=i∑(一1)一cs-一Is一(i=1，2，…，) (3)

定理2 设n，k是任意两个自然数，则

s = 丢6P++6P：+。+…+ 6P：： (4)

其中正整数

6 1

1a” (-1)i-ss-tI3k-1(1≤ ≤ ) (5)

收稿日期：2008-03一ll

作者简介：孟凡申(1953一)，男，河北清河人，浙江工业大学浙西分校数理系教授，主要从事数论与代数方面的研究

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第 3期孟凡申朱益民徐礼卡：自然数幂方和二项系数表示的系数公式 ·25·

定理3 设k是任意一个正整数，则有

6“。= +6 ’(1≤i≤后) (6)

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