条件概率，乘法公式——概率论与数理统计（宋浩）

1.3.1条件概率

假设男生和女生各50人，有30名男生吃到了月饼，10名女生吃到了月饼。在吃到月饼的人中男生的概率：30/40

定义：Ω为样本空间A，B为两个事件

P(B)>0在B已经发生的情况下A发生的概率叫做A对B的条件概率记作P(A|B)

P(A)叫做无条件概率，它的样本空间是Ω

而P(A|B)是以B为样本空间

(1)P(A|B)=nAB/nB

(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)

例题：有编号1~6的几个球

事件B是取到的球是偶数，事件A1是取到的球编号为1，事件A2是取到的球编号为2，事件A3是取到的球编号大于4

(1)P(A1)=1/6

(2)P(A1|B)=0（因为样本空间为B，也就是可能取到的球的编号为2,4,6而事件A1为可以取到的球的编号为1，所以事件P(A1|B)的概率为0）

(3)P(A2)=1/6

(4)P(A2|B)=1/3

(5)P(A3)=1/3

(6)P(A3|B)=1/3

满足公理：

P(A|B)>=0
P(Ω|B)=1
A1,A2,A3……不相容，P(∑Ai|B)=∑P(Ai|B)

经过推断可以获得公式：

P(AB)=P(B)P(A|B)

P(AB)=P(A)P(A|B)

1.3.2乘法公式

当P(A)>0并且P(B)>0时

P(AB)=P(B)P(A|B)

P(AB)=P(A)P(A|B)

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

例3：共有产品100件，次品率为10%，现在从这些产品里不放回取三次，求第三次才取到合格品的概率

解：A1,A2,A3分别表示1,2,3次取合格品。

P(A1逆A2逆A3)=P(A1逆)P(A2逆|A1逆)P(A3|A1逆A2逆)=10/100×9/99+90/98=0.00835

（解析：第三次才取到合格品说明前两次都是不合格的产品，所以第一次一共100件产品从10件不合格产品中拿走一个所以是10/100，因为一已经取走了1件产品所以还剩99件产品，并且第一次取走了一个次品还剩9件次品，第二次也要拿走次品所以为9/99，而最后一个是要在98件产品中从其中的90件合格产品选出一个所以是90/98）

例1：甲厂生产的灯泡占60%乙厂生产的灯泡占40%，甲厂的合格率为90%，乙厂的合格率为80%（1）甲厂生产并且是合格的概率为多少？（2）乙厂生产的并且是合格的概率为多大

解：设事件A为甲厂生产的，事件B为灯泡合格。那么A逆就是乙厂生产的，B逆就是不合格的。

（1）P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.9=0.54

（2）P(A逆B)=P(A逆)P(B|A逆)=0.4×0.8=0.32

例2：有10个签，其中有四个难签，甲乙丙三人按顺序抽，不放回。（1）甲抽到难签的概率（2）甲和乙都是难签的概率（3）甲容易乙难的概率（3）三个人都抽到难签的概率

解：设事件A，B，C分别表示甲乙丙抽到的签为难签。

（1）P(A)=4/10

（2）P(AB)=P(A)P(B|A)=4/10×3/9

（3）P(A逆B)=P(A逆)P(B|A逆)=6/10×4/9

（4）P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=4/10×3/9×2/8

例4：传染病模型，有a个红球b个黑球，每次取一个球然后放入c个颜色相同的球。（求三次都是红球的概率）

解：设事件A1,A2,A3分别表示第一二三次摸到红球。

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

=a/(a+b)×a+c/(a+b+c)×(a+2c)/a+b+2c

当c=0时相当于放回

当c=-1时相当于不放回

当c>0时即为传染病模型

本文章是宋浩老师的概率论与数理统计课程的笔记，为p11-p12内容所对应的笔记

视频链接：1.3.1 条件概率【板书】_哔哩哔哩_bilibili

视频链接：1.3.2 乘法公式【板书】_哔哩哔哩_bilibili