条件概率

条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P(A∣B)P(A\mid B )P(A∣B)，读作“在B的条件下A发生的概率”
条件概率公式为:
P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)
同理可得出在A条件下B发生的概率为
P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B\mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)

乘法公式

1.由上面的条件概率公式得：
P(AB)=P(A∣B)∗P(B)=P(B∣A)∗P(A)P(AB) = P(A \mid B) * P(B)=P(B \mid A ) * P(A)P(AB)=P(A∣B)∗P(B)=P(B∣A)∗P(A)

全概率公式

如果事件组B1，B2，… 满足

B1，B2…两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，…，且P(Bi)>0,i=1,2,…;
B1∪B2∪…=Ω ，则称事件组 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分,也称B为完备事件组
设 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
P(A)=∑i=1∞P(Bi)P(A∣Bi)P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}P(A)=i=1∑∞P(Bi)P(A∣Bi)
因为P(A)=P(AΩ)=P(A(B1+B2+B3+...))P(A) = P(A\Omega)=P(A(B_1+B_2+B_3+...))P(A)=P(AΩ)=P(A(B1+B2+B3+...))
又因为BiB_iBi之间互斥,所以P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)+...P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)+...P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)+...
根据上面的乘法公式我们可以得到:
P(AB1)=P(B1)∗P(A∣B1)P(AB_1)=P(B_1)*P(A\mid B_1)P(AB1)=P(B1)∗P(A∣B1)
P(AB2)=P(B2)∗P(A∣B2)P(AB_2)=P(B_2)*P(A\mid B_2)P(AB2)=P(B2)∗P(A∣B2)
P(AB3)=P(B3)∗P(A∣B3)P(AB_3)=P(B_3)*P(A\mid B_3)P(AB3)=P(B3)∗P(A∣B3)
由此可得=P(AΩ)=P(A)=∑i=1∞P(Bi)P(A∣Bi)= P(A \Omega)=P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}=P(AΩ)=P(A)=i=1∑∞P(Bi)P(A∣Bi)

贝叶斯公式

P(Bi∣A)=P(A∣Bi)∗P(Bi)∑j=1∞P(Bj)P(A∣Bj)P(B_i\mid A)= \frac{P(A\mid B_i) * P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^\infty{P(B_j)}{P(A\mid B_j)}} P(Bi∣A)=j=1∑∞P(Bj)P(A∣Bj)P(A∣Bi)∗P(Bi)

推导过程

利用条件概率公式得到
P(Bi∣A)=P(ABi)P(A)P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}P(Bi∣A)=P(A)P(ABi)
利用乘法公式得到变形 P(ABi)=P(A∣Bi)∗P(Bi)P(AB_i) = P(A \mid B_i) * P(B_i)P(ABi)=P(A∣Bi)∗P(Bi)
即:
P(Bi∣A)=P(A∣Bi)∗P(Bi)P(A)P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)*P(B_i)}{P(A)} P(Bi∣A)=P(A)P(A∣Bi)∗P(Bi)
再利用全概率公式 P(AΩ)=P(A)=∑j=1∞P(Bj)P(A∣Bj)P(A\Omega)=P(A)= \sum\limits_{j=1}^\infty {P(B_j)}{P(A\mid B _j)}P(AΩ)=P(A)=j=1∑∞P(Bj)P(A∣Bj)
即:
P(Bi∣A)=P(A∣Bi)∗P(Bi)∑j=1∞P(Bj)P(A∣Bj)P(B_i\mid A)= \frac{P(A\mid B_i) * P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^\infty{P(B_j)}{P(A\mid B_j)}} P(Bi∣A)=j=1∑∞P(Bj)P(A∣Bj)P(A∣Bi)∗P(Bi)

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