数学分析复合函数求导法则

y=g(x)y = g(x) 在 x=x0x = x_0 可导，而函数 z=f(y)z = f(y) 在 y=y0=g(x0)y = y_0 = g(x_0) 可导，则复合函数在 x=x0x = x_0 可导，且
(f∘g)′(x0)=f′(y0)g′(x0)=f′(g(x0))g′(x0)(f \circ g)' ( x_0) = f'(y_0) g'(x_0) = f'(g(x_0)) g'(x_0)

证明

因为 z=f(y)z = f(y) 在 y=y0=g(x0)y = y_0 = g(x_0) 可导，所以
∀Δy∈{Δy>0:y0+Δy∈Df},f(y0+Δy)−f(y0)=f′(y0)Δy+Δy⋅α,limy→y0α=0,\forall \Delta y \in \{\Delta y > 0: y_0 + \Delta y \in D_f\}, f(y_0 + \Delta y) - f(y_0) = f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha, \lim \limits_{y \to y_0 } \alpha = 0,
Δy=0 \Delta y = 0 时，令 α=0,\alpha = 0, 则 ∀Δy∈{Δy:y0+Δy∈Df},\forall \Delta y \in \{\Delta y: y_0 + \Delta y \in D_f\}, 上式都成立。
令 Δy=g(x0+Δx)−g(x0),\Delta y = g(x_0 + \Delta x) - g(x_0), 由于 limΔx→0Δy=0,\lim \limits_{\Delta x \to 0 } \Delta y = 0, 因此 limΔx→0α=0.\lim \limits_{\Delta x \to 0 } \alpha= 0.
因此：

∀Δx∈{Δx>0:x0+Δx∈Dg},

\forall \Delta x \in \{\Delta x > 0: x_0 + \Delta x \in D_g\},

(f∘g)(x0+Δx)−(f∘g)(x0)Δx

\frac {(f \circ g)(x_0 + \Delta x) - (f \circ g)(x_0)}{\Delta x}

=f(g(x0+Δx))−f(g(x0))Δx

= \frac {f(g(x_0 + \Delta x)) - f ( g(x_0))}{\Delta x}

=f(y0+Δy)−f(y0)Δx

= \frac {f(y_0 + \Delta y) - f(y_0)}{\Delta x}

=f′(y0)Δy+Δy⋅αΔx

= \frac {f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha}{\Delta x}

=f′(y0)ΔyΔx+ΔyΔxα

= f'(y_0) \frac {\Delta y}{\Delta x} + \frac {\Delta y}{\Delta x} \alpha

→f′(y0)g′(x0),Δx→0

\rightarrow f'(y_0) g'(x_0), \Delta x \rightarrow 0

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