多元复合函数求导法则

1、一元函数与多元函数复合的情形
若函数u=ϕ(t)、v=ψ(t)u=ϕ(t)、v=ψ(t)u = \phi(t)、v = \psi(t)都在点ttt可导，函数z=f(u,v)" role="presentation">z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[ϕ(t),ψ(t)]z=f[ϕ(t),ψ(t)]z=f[\phi(t),\psi(t)]在点ttt可导，则对应

z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t)" role="presentation">z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t)z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t)

z=f(u,v), \begin{cases} u = \phi(t)\\ v = \psi(t) \end{cases}有

dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdtdzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}

2、多元函数与多元函数复合的情形
若函数u=ϕ(x,y)、v=ψ(x,y)u=ϕ(x,y)、v=ψ(x,y)u = \phi(x,y)、v = \psi(x,y)都在点(x,y)(x,y)(x,y)具有对x、yx、yx、y的偏导数，函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]z=f[\phi(x,y),\psi(x,y)]在点(x,y)(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在，则对应

z=f(u,v),{u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y)z=f(u,v),{u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y)

z=f(u,v), \begin{cases} u = \phi(x,y)\\ v = \psi(x,y) \end{cases}有

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

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