UA OPTI570 量子力学1 电磁波与光子

Planck-Einstein Relations
Wave-Particle Duality与双缝干涉
光的偏振

Planck-Einstein Relations

早期，牛顿为了解释光的反射之类的现象，把光理解成一束粒子；而在十九世纪上半叶，光的波动性（干涉、衍射等）被逐渐发现，这为之后把物理光学纳入到电磁理论的框架内奠定了基础。在电磁理论框架下，光速ccc与Permittivity与Permeability直接相关，光的偏振也被认为是电磁场作为矢量场的表现。然而在1990年，普朗克在关于Blackbody Radiation（黑体辐射）这个电磁理论无法解释的领域的研究中提出了quantization of energy假说：频率为ν\nuν的电磁波的能量只可能是hνh\nuhν的整数倍，这里的hhh是普朗克常数。爱因斯坦扩展了这个假设并运用到粒子物理中，他提出光是由一束Photon（光子）构成的，每一个光子拥有的能量为hνh \nuhν，这个假设被爱因斯坦用于解释Photoelectric Effect（光电效应）。1924年，Compton effect的发现证实了光子的存在。以上的种种发现说明光与介质之间的交互并不能简单理解为粒子与粒子、粒子与场之间的交互，而是应该视作整体来讨论。体现光的粒子性的参数（能量EEE与一个光子的动量p\textbf pp）与体现光的波动性的参数（角频率w=2πνw=2\pi \nuw=2πν与波向量k\textbf kk，∣k∣=2πλ|\textbf k|=\frac{2\pi}{\lambda}∣k∣=λ2π）之间存在下面的基本关系：
E=hν=ℏwp=ℏkE = h \nu = \hbar w \\ \textbf p = \hbar \textbf kE=hν=ℏwp=ℏk

粗体表示矢量，ℏ\hbarℏ是约化普朗克常数，ℏ=h2π\hbar = \frac{h}{2\pi}ℏ=2πh，
h≈6.26×10−34J⋅sh \approx 6.26 \times 10^{-34}J\cdot sh≈6.26×10−34J⋅s

Wave-Particle Duality与双缝干涉

我们从杨氏双缝干涉实验开始分析，上图part a就是杨氏双缝干涉实验装置部分，假设最左端的光源向各个方向发出的光是相干的，经过狭缝F1与F2后传播到位于原点的屏上，可以观察到光强的分布；假设光的粒子说成立，那么结果就应该如part b所示，屏上光强的分布就是经过F1到达屏上的光强I1I_1I1与经过F2到达屏上的光强I2I_2I2的简单相加；但实际结果却是如part c所示，屏上呈现明暗条纹交错分布的特点，光强也是遵循一定规律在极大值与极小值之间震荡的，而这种规律正好可以由光的波动性解释，这些就是我们耳熟能详的杨氏双缝干涉实验的内容（想了解更详细的可以参考这一篇）。

但是关于杨氏双缝干涉实验还有一些有趣的细节。如果在屏上贴一张底片，并让实验持续较长时间，使得即使是暗条纹的位置也可以接收到足够多的曝光，但实际结果却是即使延长曝光时间，暗条纹依然存在，这进一步说明只靠光的粒子说解释不了干涉现象；而如果只让实验持续非常短的时间，假设干涉现象可以只用光的波动说解释，那么底片上依然会出现清晰的明暗条纹，然而实际却是极短时间的曝光并不会出现明显的干涉现象，这说明只靠光的波动说也解释不了光的干涉。

这时只要回过头再重新思考一下这个实验就会发现，它的结果已经摧毁了我们基于经典力学的认知。第一点就是关于实验中的测量，在经典力学中，我们有很多手段在实验对象的运动过程中测量其性质，并且在测量的过程中对整个力学系统的影响非常小甚至可以忽略；但是在双缝干涉实验中，如果光源可以一个一个地发出光子，那么如果我们想在F2狭缝处测量到达这里的光子的属性，它就到达不了屏上了，当经过F2的光子都被这样测量一次时，屏上的明暗干涉条纹都不会出现了，只会出现经过F1的光子造成的单狭缝衍射条纹，也就是说测量会对系统造成极大影响。第二点是关于运动过程的确定性问题，在经典力学中，固定参数的力学系统只要初始条件相同，就一定能够产生一样运动，但是在双缝干涉实验中，尽管所有的光子都是从同一个光源发出的，但经过不同狭缝的光子明显表现出了不同的性质（如果性质相同实验结果会是前文图中part b的结果），也就是即使初始条件一致也无法复制出相同的运动模式。

在面临这么的挑战的情况下，经过物理学家们的不懈努力，波粒二象性(Wave-Particle Duality)的概念终于被提出来了，一些核心的结论如下：

光的粒子性与波动性与不可分割的，光的波动性让我们可以去计算它的粒子性的行为的概率；
对光子的行为只能做出或然性的预测
在时间ttt时，关于光子的信息是由波函数E(r,t)\textbf E(\textbf r,t)E(r,t)给定的，这个波函数就是Maxwell方程的解，它代表光子在给定位置-时间下的状态，也可以被解释为光子出现在此时此刻的概率幅（probability amplitude，实际概率会与概率幅的模的平方成正比）

基于波粒二象性，我们可以试图去解释双缝干涉了：光子在到达屏之前出现在什么位置是不确定的，但是会遵循特定的概率分布，经过F1与F2的光子依照惠更斯原理可以理解成从F1与F2这两个相干光源发出来的，它们有不同的波函数E(r,t)\textbf E(\textbf r,t)E(r,t)，所以有不同的概率分布；每一个到达屏上的光子就相当于它对应的概率分布的一个样本，时间足够长之后，样本量足够大，根据大数定律，屏上的条纹反应的其实是F1与F2这两个相干光源发出来的两种概率分布的叠加。

光的偏振

假设光沿zzz轴传播，电场为E(r,t)=E0epei(kz−wt)\textbf E(\textbf r ,t)=E_0\textbf e_p e^{i(\textbf k \textbf z - wt)}E(r,t)=E0epei(kz−wt)，光强为I=∣E0∣2I=|E_0|^2I=∣E0∣2，xOy平面上有一个方向为ex\textbf e_xex的偏振片，则经过偏振片后到达分析器A处时，电场偏振方向已经变成了x^\hat xx^：
E′(r,t)=E0′xei(kz−wt)\textbf E'(\textbf r ,t)=E_0'\textbf x e^{i(\textbf k \textbf z-wt)}E′(r,t)=E0′xei(kz−wt)

光强为
I′=∣E0′∣2=Icos⁡2θI'=|E_0'|^2 = I \cos^2 \thetaI′=∣E0′∣2=Icos2θ

这是我们比较熟悉的，把光做矢量分解来解释偏振的思路，现在我们可以尝试用波粒二象性解释一下光的偏振。同样假设光子是一个一个从光源发出沿zzz轴运动的，每一个光子偏振方向都是随机的，但是能通过偏振片的概率为cos⁡2θ\cos^2 \thetacos2θ，于是在分析器A接收到足够多光子后，根据大数定律，光强就会趋近于Icos⁡2θI\cos^2 \thetaIcos2θ。