图论之分层图最短路总结与经典例题

一、分层图

分层图只是建图时有区别，但跑最短路板子都是一样的，正所谓图论最难的就是建图，只要有合适的建图方法，那么问题就很简单了。

分层图是指有很多个平行的图，各个平行的图之间有特殊的连接边。

如何更好的理解分层图呢，就想一下我们平时坐的地铁，地铁的某一条线就是一层图，有三条线就相当于有三层平行的图，每层之间通过共有的地铁站连接起来。这就是分层图。

用分层图的几种情况：
1、有k个不同集合的边，将每个集合内的边建成一张图，再建立第k+1个图，是一个虚层，用这个虚层将这k张图连接起来。每次可以通过虚层转移到另一个集合的图中。如例1.小雨坐地铁。
2、有k个机会使得走当前此边不花费代价或花费特殊的代价，可以建立k张相同的该图，每张图之间用有边的点连接起来，其代价是0或是特殊的值。每向下走一层，就代表用了一次机会，使得当前的路花费为0，最多可以走k次。如例2.飞行路线。
3、有k个机会逆向行驶，我们可以建k张相同的该图，将每层图之间有边的两个点用的逆向的边连接。每向下走一层，就代表用了一次机会逆向走了一次，最多可以走k次。

二、经典例题

例1：nc26257 小雨坐地铁

思路： 这就是建分层图的第一种情况，有k条地铁线路，我们就建k张图，然后再建第k+1张虚层，将各个可以中转线路的点连接起来，并设定从虚层到地铁需要乘该线的代价，从地铁到虚层代价为0，这里的虚层就相当于地铁站，这就实现了地铁的转线。

代码解析：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 510000,INF = 0x3f3f3f3f;    //注意数据范围
typedef pair<int,int> PII;int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;   //链式前向星建图
int n,m,s,t,dis[N];
bool vis[N];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;  //dijkstra优先队列优化void add(int a,int b,int c) //加边函数
{e[idx] = b;ne[idx] = h[a];w[idx] = c;h[a] = idx++;
}int dijkstra(int s)    //dijkstra模板
{memset(dis,INF,sizeof dis);dis[s] = 0;q.push({0,s});while(!q.empty()){int u = q.top().second;q.pop();if(vis[u])continue;vis[u] = 1;for(int i = h[u]; ~i;i = ne[i]){int v = e[i];if(dis[v] > dis[u]+w[i]){dis[v] = dis[u]+w[i];q.push({dis[v],v});}}}
}int main()
{int price,ad,num,pre,cur;cin >> n >> m >> s >> t;memset(h,-1,sizeof h);for(int i = 1;i <= m;i++){cin >> price >> ad >> num;for(int j = 0;j < num;j++){cin >> cur;if(j){add((i-1)*n+pre,(i-1)*n+cur,ad); //最重要的建图，k张图不需要单开k个数组建图，只需要每总点数n分成一层，类似于手动用一维数组模拟二维数组add((i-1)*n+cur,(i-1)*n+pre,ad);    //同一线路的每站之间建一个无向边}add((i-1)*n+cur,n*m+cur,0); //n*m层是虚层，点进虚层的花费是0add(n*m+cur,(i-1)*n+cur,price); //虚层进地铁的花费是该线路的费用pre = cur;    //存储当前点，方便和下一个点建边}}dijkstra(n*m+s); //从虚层的起点开始跑if(dis[n*m+t] == INF) //答案是虚层的终点cout << -1 << endl;elsecout << dis[n*m+t] << endl;return 0;
}

例2：P4568 飞行路线

思路： 分层图套路，最重要的就是建图，建k张相同的该图，各层内部正常连边，各层之间建边时，建一条从上到下花费为0的边，代表免费乘坐一次。跑一遍从s到n*k+t的最短路即可。用一张洛谷大佬的图：

代码解析：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 2100010,INF = 0x3f3f3f3f;   //注意数据范围，经测验此题最多的边数达到了2100009
typedef pair<int,int> PII;int n,m,k,s,t,dis[N];
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;   //链式前向星存图
bool vis[N];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;  //dijkstra优先队列优化void add(int a,int b,int c) //加边函数
{e[idx] = b;ne[idx] = h[a];w[idx] = c;h[a] = idx++;
}void dijkstra(int s)   //dijkstra模板
{memset(dis,INF,sizeof dis);dis[s] = 0;q.push({0,s});while(!q.empty()){int u = q.top().second;q.pop();if(vis[u])continue;vis[u] = 1;for(int i = h[u]; ~i;i = ne[i]){int v = e[i];if(dis[v] > dis[u]+w[i]){dis[v] = dis[u]+w[i];q.push({dis[v],v});}}}
}int main()
{int a,b,c;cin >> n >> m >> k >> s >> t;memset(h,-1,sizeof h);for(int i = 0;i < m;i++){cin >> a >> b >> c;add(a,b,c); //关键的建图，各层内部正常建边add(b,a,c);for(int j = 1;j <= k;j++)  //从0到k层建k+1张图{add(j*n+a,j*n+b,c);    //每层内部正常建图add(j*n+b,j*n+a,c);add((j-1)*n+a,j*n+b,0);    //各层之间从上到下建边花费为0add((j-1)*n+b,j*n+a,0);}}for(int i = 0;i < k;i++)add(i*n+t,(i+1)*n+t,0); //为防止使用小于k次权力就到达终点，在每层的终点间建花费为0的边连起来dijkstra(s); //从起点s出发cout << dis[n*k+t] << endl;    //到k层的终点为答案return 0;
}