图论 ---- E. Minimum Path（分层图最短路用分层图对边权操作进行选择）

题目链接

题目大意：

两点间最短路的定义变成:所有的边之和−max+min所有的边之和-max+min所有的边之和−max+min

解题思路：

这里很明显就是变成了最短路的时时候就是把路径上边权最小值乘2，然后把最大值去掉？
相当于免费？

是不是很像分层图？
就是你有两次机会：1.你可以把一条路径上的边权变成0。2.是把边权翻倍

为什么跑分层图最短路就是答案呢？
因为根据最短路的性质肯定是去大边，翻倍小边

我们一共有4种状态:
1.两个机会都没用
2.用了第一个条件，第二个没用
3.用了第二个条件，第一个没用
4.两个都用了

那么直接4个状态这样是不是就可以了呢？

肯定是不行的
因为可能两点间的最短路只有一条边？？
那么你这个分层图要到4至少要两条边？？
那么怎么办？

第一层和第4层再连一条边

AC code

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 200010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {read(first);read(args...);
}
struct node {int nxt, to, val;
}edge[maxn*20];
int head[maxn<<2], cnt;
int n, m;
inline void add(int from, int to, int val) {edge[cnt] = {head[from],to,val};head[from] = cnt ++;
}
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
ll dist[maxn<<2];
bool vis[maxn<<2];
inline void dij() {ms(dist,LLF);dist[1] = 0;q.push({0,1});while(!q.empty()) {auto top = q.top();q.pop();if(vis[top.second]) continue;vis[top.second] = 1;for(int i = head[top.second]; ~i; i = edge[i].nxt) {int to = edge[i].to;if(dist[to] > dist[top.second] + edge[i].val) {dist[to] = dist[top.second] + edge[i].val;q.push({dist[to],to});}}}
}int main() {IOS;ms(head,-1);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++ i) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;for(int j = 0; j <= 3; j ++) add(u+j*n,v+j*n,w),add(v+j*n,u+j*n,w);add(u,v+3*n,w);add(v,u+3*n,w);add(u,v+n,2*w);add(v,u+n,2*w);add(u,v+2*n,0);add(v,u+2*n,0);add(u+n,v+3*n,0);add(v+n,u+3*n,0);add(u+2*n,v+3*n,2*w);add(v+2*n,u+3*n,2*w);}dij();for(int i = 2; i <= n; ++ i) cout << dist[i+3*n] << " ";
}

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