这是本蒟蒻博客的第一篇文章，不规范之处敬请各位大佬指正和谅解orz

Loj#6223+Luogu P4009

文章目录

前言

一、建模

二、代码实现

1.节点在图中的编号（分层图的存储）

2.建边

对于非油库

对于油库

3.求解

三、AC代码

总结

前言

本蒟蒻写博客发题解主要是为了加深对题目的理解，并且在枯燥的刷题过程中换换脑子理清思路，毕竟该蒟蒻博客很可能只有我一个人看（或者两个？），不管怎么说，一定会认真对待的。

Pass：声明：本博客参考：

P4009 汽车加油行驶问题（分层图最短路）_Mr.Gzj的博客-CSDN博客

一、建模

这道题其实代码和实现难度都很低，关键在于如何建模。

显然看到网络流24题基本上各方神犇都去跑最小费用最大流了，但蒟蒻这里提供另外一个方法——

分层图最短路

既然是求最小边权，我们容易想到是以费用为边权建图。

那么问题来了，如何建图呢？

网格图，那么最基本的就是根据题意描述，向四个放向连边。

但这道题真正难在对汽油的处理。

我们发现，汽油这一状态较为复杂.。

这里就需要引入分层图了。

把图复制若干张，对于每张图表示不同的状态，根据题意对不同的图层进行连边，这就是分层图。

题目中油箱容量为K

——实际上根据题目描述是满油可以走K条网格边，

这里曲解为油箱容量为K，每走一条边消耗一单位的油，方便理解——

所以我们需要建K+1张图，表示油箱含有0-K个单位的油

（也可以表示用了0-K单位的油，实现时微调即可）

如果要加满油，就向第K层（即油量为K的层）连边，

对于每一步，向下一层（假设是当前第Lay层，则下一层为Lay-1层（下同））连边

二、代码实现

1.节点在图中的编号（分层图的存储）

我们不妨把编号理解为一个点在图中的次序。

对于每一张网格图，行编号小的次序靠前，在同一行，列编号小的次序靠前。

那么对于K+1张图，依次排列即可。

节点的编号边是在它前面（次序比它小的）的节点的个数+1。

假设点p在第k张图的(i,j)，那么它前面的节点数有：

前面图层的节点数n*n*k（存在第0层所以k不用减一）

前面行的节点数n*(i-1)

所在行前面的节点数(j-1)

加起来再加一即可

求编号代码如下：

int Get_Node(int x,int y,int z)//第z层的(x,y)的编号
{return (n*n*z)+(n*(x-1))+y;  //下层节点数+该行前节点数+列编号
}

2.建边

我们需要对油库和非油库分开考虑

对于非油库

汽车经过一条网格边时，若其 X坐标或Y坐标减小，则应付费用B，否则免付费用

那么建边方式就很显然了，向下一层的左和上方节点连一条权值为B的边。

向下一层的右和下方节点连一条权值为0的边。

在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用 C(不含加油费用A)

这也很显然，我们向第K层连一条权值为A+C的边。

一个小心思，读题不认真可能漏掉，不含加油费说明建厂的话还得交加油钱，要再加一个A。

对于油库

汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用 A

注意文字游戏，遇..则应，意味着强制消费，也无形埋下了一个坑。

既然是强制消费，那我们就有不同的建边方法。

首先肯定是向第K层建一条权值为A的边。

但既然是强制消费，那我们是不是就可以理解为不加满不给走？

那么不就是加满了才能走吗（废话文学）

所以我们不妨只由第K层向第K-1层的四个方向建相应的边，就可以实现只有满油才能离开了！

加边代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){int Hasoil=Read();if(Hasoil)//油库 {for(int Lay=0;Lay<k;Lay++)//加油（理论上不会出现加油之前满油的情况，Lay<k）Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j,k),a);if(i<n) Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i+1,j,k-1),0);if(j<n)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i,j+1,k-1),0);//往前跑免费 if(i>1)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i-1,j,k-1),b);if(j>1)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i,j-1,k-1),b);//往回跑 交费 //强制消费只连满和满减一 }else//非油库 {for(int Lay=0;Lay<k;Lay++)//建厂+加油 Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j,k),a+c);for(int Lay=1;Lay<=k;Lay++)//注意第0层没油跑不动 {if(i<n)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i+1,j,Lay-1),0);if(j<n)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j+1,Lay-1),0);if(i>1)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i-1,j,Lay-1),b);if(j>1)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j-1,Lay-1),b);}}}

3.求解

图建好了剩下就简单多了。

起点为左上角，终点为右下角，且：

出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。

那么我们以第K层的（1，1）为起点，对整个图跑一遍SPFA/Dijstra，

（没负权网格其实用堆优化的Dijstra更好，但蒟蒻SPFA写得熟，但数据不卡无所谓了）

最后对于每层图的（n，n），求最小值，就可以华丽地输出了！

三、AC代码

Words are useless,I need your code....

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+100;
const int INF=0x3f3f3f3f;
//数组其实开大了， 点开到1e5，边开到1e6就好了
using namespace std;
int n,k,a,b,c;
inline int Read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
int Head[N],To[N<<1],Nxt[N<<1],W[N<<1],Etot;
void Addedge(int x,int y,int z)//加边
{Nxt[++Etot]=Head[x];W[Etot]=z;To[Etot]=y;Head[x]=Etot;
}
int Get_Node(int x,int y,int z)//第z层的(x,y)的编号
{return (n*n*z)+(n*(x-1))+y;  //下层节点数+该行前节点数+列编号
}
void Init()
{n=Read(),k=Read(),a=Read(),b=Read(),c=Read();for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){int Hasoil=Read();if(Hasoil)//油库 {for(int Lay=0;Lay<k;Lay++)//加油（理论上不会出现加油之前满油的情况) Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j,k),a);if(i<n) Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i+1,j,k-1),0);if(j<n)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i,j+1,k-1),0);//往前跑免费 if(i>1)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i-1,j,k-1),b);if(j>1)Addedge(Get_Node(i,j,k),Get_Node(i,j-1,k-1),b);//往回跑 交费 //强制消费只连满和满减一 }else//非油库 {for(int Lay=0;Lay<k;Lay++)//建厂+加油 Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j,k),a+c);for(int Lay=1;Lay<=k;Lay++)//注意第0层没油跑不动 {if(i<n)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i+1,j,Lay-1),0);if(j<n)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j+1,Lay-1),0);if(i>1)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i-1,j,Lay-1),b);if(j>1)Addedge(Get_Node(i,j,Lay),Get_Node(i,j-1,Lay-1),b);}}}
}
queue<int>Q;
int Dis[N];
bool Inque[N];
void SPFA(int st)
{memset(Dis,0x3f,sizeof(Dis));Q.push(st);Inque[st]=true;Dis[st]=0;while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();Inque[u]=false;for(int i=Head[u];i;i=Nxt[i]){int v=To[i];if(Dis[u]+W[i]<Dis[v]){Dis[v]=Dis[u]+W[i];if(!Inque[v]){Q.push(v);Inque[v]=true;}}}}
}
int main()
{Init();SPFA(Get_Node(1,1,k));int ans=INF;for(int i=0;i<=k;i++)ans=min(Dis[Get_Node(n,n,i)],ans);printf("%d\n",ans);return 0;
}
//完结撒花 ！！！

算法期望时间复杂度O（k*N*N*K）

总结

这道题其实算是分层图最短路的一道比较好的模板，其实用最短路来理解的话会比网络流想起来容易点？（主要是蒟蒻网络流太逊）

其实这道题和拯救大兵瑞恩（孤岛营救问题Loj6121+LuoguP4011）异曲同工也是网络流24题，也可以用分层图最短路做。。。。

可以双倍经验一下。

作为本博客第一篇，蒟蒻感谢每一位来访者。

霍格沃茨空中使用的魔法太多了，麻瓜使用的魔法的替代品——像蒸汽和电脑等在这里变得一塌糊涂。

——《霍格沃茨：一段校史》

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