cramer定理_线性代数部分重要定理总结

1.每一个线性空间都有一个基。

向量张成空间：向量 v1,v2,…,vl，张成空间意味着：这个空间包含这些向量的所有线性组合.

但没有要求向量组一定是线性无关。

向量空间的基：我们想找一组向量是线性无关，且所有空间的向量可以由这组向量唯一表示，即向量数目不多不少。

定义：空间的每一个向量都可以由基向量唯一线性表示。

所以说讨论一个空间，你要先找到一组基，这是讨论向量空间的基础。

举例：三维空间的基，最简单的如下：

当然三维空间的基不止一组，3个线性无关的向量组都可以组成基。注意必须是3个，因为向量数目必须“恰好”。若仅取2个线性无关的向量，所有的组合是三维空间的一个平面，不能充满整个空间，不是三维空间的基，所以基中含有向量的数目必须是3！

2.对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵)，则 A 为非奇异矩阵(或称可逆矩阵)，B为A的逆阵。

非奇异矩阵还有以下的性质：

可逆矩阵一定是方阵。
如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O)，则B=O，AB=AC(或BA=CA)，则B=C。
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

3.矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

正定矩阵的定义如下：

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为

正定矩阵。(B必须为对称阵)

狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

正定矩阵有如下性质：

正定矩阵的行列式恒为正；
实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
两个正定矩阵的和是正定矩阵；
正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
A的一切顺序主子式均为正。
A的一切主子式均为正。
存在实可逆矩阵C，使A=C′C。
存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。

4.解线性方程组的克拉默法则。

克莱姆法则，又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆(1704-1752)于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

对于多于两个或三个方程的系统，克莱默的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O(n·n！)。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。因为克莱默法则依赖于矩阵的求逆，而矩阵球逆上非常低效和不稳定的。

5.判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

系数矩阵：方程组左边各方程的系数作为矩阵就是此方程的系数矩阵。

增广矩阵：将非齐次方程右边作为列向量加在系数矩阵后就是增广矩阵。
齐次方程有非零解的条件是系数矩阵的秩小于N,就是说未知数的个数大于方程的个数。
非齐次方程：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时有解。若此秩也等于n即未知数的个数时，有唯一解。

*文章部分内容整理于网络

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