本次内容主要适合数学系院系的学生，非数学系的同学可以从略. 但因后续介绍函数连续性一些性质的证明时常需要用到，故笔者还是推荐非数专业的同学们了解一下，这将有助于同学们更加深刻的理解那些性质背后的意义.

本次文章包括什么是闭区间套？

闭区间套定理介绍

闭区间套定理的证明

例题应用

一：什么是闭区间套：

设闭区间列

具有如下性质：

(i)

, 其中

(ii)

则称

为闭区间套，或者简称为区间套。

(注：闭区间列

和数列

有些相似，都是用花括号括起的一个序列。)

发现对于上述的数列

有关系：

注意到，其中

单调递增，且以每一个

为上界。

单调递减，且以每一个

为下界

由数列单调有界准则知，

都各自收敛。

二：闭区间套定理：

任何闭区间套，必存在唯一的公共点。

即若

是一个闭区间套，则

，其中

为唯一的一个点。

上述表达可能比较难理解为什么，不过其还有另一种表达方式，该表达方式相对于上一个更加直观一点。

由定义设闭区间套序列

有

(i)

，其中

(ii)

则存在一个唯一的数

，使得

。且这时，

如何形象地理解该定理呢？

从闭区间套的定义我们知道，闭区间套就是一个左右端点间距不断缩小的闭区间序列。并且因为

，左右端点的差值无限趋近于0了，我们就可以想象成，该闭区间在数轴上不断地被压缩，最终被压缩成了一个数轴上的点，而这个点就是上述所说的

。

显然对于闭区间列

中的每一项

他们都含有该点

。因此我们说，对于每一个闭区间套

，都有

，这也就是我们最开始说的第一个表达方式。

当然，这也仅仅只是我们初步抽象的想象，在我们的想象下，这个定理是正确的。但为了肯定该定理是正确的，我们任需要给出严格的数学证明。

三：闭区间套定理的证明：

在(一)中我们已经证明了

都收敛。又由闭区间套的定义知，

所以易得，

。设

，由

单调递减，

单调递增，且都收敛到

知：对于任意

,恒有 ：

(1)

于是，接下来只需证明

的唯一性即可。 要证明唯一性，只需取另一个数

，证明

即可。

故设

也满足：

，由(1)知，

和

二者在数轴的距离不会超过

和

的距离。因此有：

由

知

。

于是，

的存在性和唯一性都得证。

需要注意的是，若将闭区间套定理中的闭区间套改为开区间套，其他条件不变，则定理不一定成立。最简单的例子便是：

，此时

那么，闭区间套定理该怎么运用到证明中去呢？接下来我们来看几个例子。

四：闭区间套定理的例题应用

例题：证明确界存在定理

确界存在定理相信大家已经学过或者已经了解过。即：有上界必有上确界，有下界必有下确界。现在我们从闭区间套定理出发，对确界存在定理给出证明。从闭区间套定理我们知道，该定理无非就是不断把闭区间缩小，直至缩小成一个单点集。于是我们证明的思路也是取一个包含上(下)确界的闭区间，在人为的给出一定条件后，不断缩小该区间，最终使得其缩小成一个单点集，所得单点便是上(下)确界。

下证：有上界必有上确界(下确界同理，读者可自己作为练习)

不妨假设一个数集

有一个上界

,并在数集中任取一点

，若

,则显然该

已是上确界。下面考虑

的情况。

设

(此时我们得到了一个最初始的包含上确界的闭区间。接下来考虑如何压缩该区间。因为

中包含了

故

若有：

则取

,

,

否则取

,

,

这样我们就把

压缩到了

的一半。

以同样的方法，我们可以不断重复上述过程从而得到闭区间

因为对每个

都有

,即：

且长度都为上一个闭区间长度的一半，因此有：

由定义知，该

是一个闭区间套。

由闭区间套定理知：

存在唯一的数

,使得

且

若存在

，满足

,则由数列极限的保号性，存在

,当

时，

,这与

是

的上界矛盾。故不存在

，

，故

是

的一个上界。

又因

且

, 故对于

，

时,

。由定义 ，

是

的上确界。

证毕。

另外，闭区间套定理还可用于证明：

(1) 单调有界原理 (2) cauchy准则的充分性 (3)致密性定理 .....

下一次内容笔者介绍连续函数的零点存在定理时，同样也会利用闭区间套定理证明。https://zhuanlan.zhihu.com/p/333318633​zhuanlan.zhihu.com

五：小结

闭区间套定理给我们证明问题提供了一个有力的工具。我们在面对单调有界原理，确界原理这种定理的证明时，常在思考，如何把他们不断压缩，逼近，最后坍塌收敛至一个点。(因为他们从直观的想象上，确实就是不断逼近，最后聚集在一个点附近的。)现在有了闭区间套定理，我们只需要取出一个初始的闭区间，再思考如何逼近(通常二分法是很有效的)，问题就迎刃而解了。