donsker定理_中心极限定理和Donsker定理

为什么要关心中心极限定理和Donsker定理

这可能就是Donsker定理要解决的问题。与Donsker定理相关的，还有Glivenko-Cantelli Theorem，似乎与中心极限定理与大数定律之间的关系是对应的。类似的，与正态分布相对应的可能是布朗桥。

同时，把一个随机变量展开为随机过程，以及相应定理在时域上的推广，似乎全部可以用傅里叶变换全部联系起来。

作为一个宏观研究人员，严谨的讨论一些数学方面问题远超出了我的能力范围。但受兴趣与实际需要驱动，对于很多数学上的概念，又不得不持续的学习和思考。下面是一些关于中心极限定理及其他相关知识点与经济金融领域部分概念，如何统一起来的初步体会。

这就是我这个学习体会及相应结构安排的一些考虑，是为题记。

1. 自然底数和复利

复利的计算是得到自然底数

的历史背景之一(见 @温欣提市对此做的一些总结)。

相应的也有，

如果对

泰勒展开，则有

从

的定义式看，是有一种复利的直观解释的。那么，

的泰勒展开形式是否有一种直观的解释呢？如果1看做本金，

看做单利利息，那么又如何理解

的高阶项

以及分母上的阶乘

？首先定义1元钱的

次滚动投资收益即复利收益为

，并进行展开

显然，

展开以后，是有明确的直观意义的，可以从复利的角度直观理解。那么，如何直观理解

的泰勒展开形式？为什么要直观理解泰勒展开形式？

2. 欧拉公式、傅里叶变换、拉普拉斯变换

欧拉公式

傅里叶变换

对于离散形式，傅里叶变换可能更容易理解，如

对于函数

，我们要将其表示成为

的某种函数，这就意味着，需要增加一个参数，例如参数

，这个参数

不仅使

变化，而且再根据参数

给一个权重。这种思路与多项式是类似的，例如，令

,则有

显然，

转换成了一个关于

的多项式。从这个角度看，傅里叶变换不过是另外一种形式的多项式表示。如果说有不同，只是在于多项式本质上就是离散的，而傅里叶变换既可以有离散形式，也可以有多项式形式。

对于

，可以看做是横轴为

，纵轴为复数轴

的函数。

对比泰勒展开，系数

是通过求导得到的。对于傅里叶变换，这个系数也必然不是任意的，需要符合某种特定的形式。实际上，这种形式在本质上应该是与泰勒展开是一致的，能够相互推导的。根据

阶傅里叶系数为

显然，这个

阶傅里叶系数不太容易直接同泰勒系数联系起来。

拉普拉斯变换

3. 正态分布密度函数及矩母函数

4. 中心极限定理

设随机变量

、

、...、

相互独立且服从均值为

、方差为

的同一分布，有前

项和

。显然，

的均值为

，方差为

。最简单形式的中心极限定理可以表述为，

中心极限定理证明方式很多，其中Billingsley(1999)

证明：设变量

的特征函数为

,则

的特征函数

为

因而，

的特征函数为

对特征函数

泰勒展开，有

其中，

表示

的3次以上整数高阶项。类似的有

以及

表示

的3次以上整数高阶项。

其中

至

由t决定，

为相应

至

中的最大值。第一个小于号后面的

来源于

的

次方项与

相乘后化简。因而有

证毕。

5. Donsker定理以及维纳过程的构造

6. 理解布朗桥

7. 时域、频域视角下的复利

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