基于熵权法对TOPSIS法模型的修正
最近在学习数学建模,在B站发现一个特别不错的课程,讲的很全面,常考的算法都有涉及到:清风数学建模
本文将结合熵权法介绍TOPSIS法,并将淡化原理的推导,更侧重于具体应用。
TOPSIS法
概述
TOPSIS法(优劣解距离法)是一种常用的综合评价方法,能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。同时TOPSIS法也可以结合熵权法使用确定各指标所占的权重。
基本过程
一、统一指标类型
常见的四种指标如下:
在进行建模之前需要对所有的指标进行正向化处理,正向化的过程就是将所有指标类型统一转化为极大型指标(越大越好)的过程(转换函数形式不唯一)。假设原始数据序列为x,则各类型指标转化为极大型指标的方法如下:
- 极小型指标→极大型指标:
max - x - 中间型指标→极大型指标:
假设最佳数值为xbest,X为正向化后的序列,则正向化公式为:
M = max{|xi-xbest|},X = 1 - |xi-xbest|/M - 区间型指标→极大型指标:
假设最佳区间为[a,b],则正向化公式如下:
M = max{a - min{x},max{x}-b}
二、正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
设正向化矩阵为X,则标准化矩阵Z为:
除上述方法以外,还有许多方法,如:(x - x的均值) / x的标准差,具体选用哪一种方法在多数情况下并没有很大限制。
三、计算得分并归一化
假设有n个要评价的对象,m个评价指标的大小为 n×m 标准化矩阵Z。
定义最大值:
定义最小值:
定义第 i 个评价对象与最大值的距离:
定义第 i 个评价对象与最小值的距离:
可以计算第 i 个评价对象未归一化的得分:
将得分归一化(得分归一化不影响排序):
以上分析过程未考虑指标的权重,可以使用熵权法来确定各指标的权重。
综上所述,算法基本过程如下:
- 将原始数据矩阵进行正向化处理, 得到正向化矩阵;
- 对正向化矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响,并找出有限方案中的最优方案与最劣方案;
- 分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离;
- 根据“构造计算评分公式”获得各评价对象与最优方案的接近程度,作为评价优劣的依据。
基于熵权法对Topsis法模型的修正
基本原理
熵权法是一种客观赋权的方法,依据的原理为:指标的变异程度越小,所反映的信息量也越少,其对应的权值也越低(客观等同于数据本身就可以告诉我们权重)。
熵权法的性质:越有可能发生的事情,信息量越少;越不可能发生的事情,信息量就越多。信息量与概率的函数关系如下:
设 x 为事件X发生的某种情况,p(x) 表示这种情况发生的概率,则 I(x) = -ln(p(x))。
定义事件 X 的信息熵为:
即,信息熵的本质是对信息量的期望值。对于熵权法而言,因为关注的是已有的信息,所以信息熵越大,信息量越小(随机变量的信息熵越大,则它的值(内容)能为你补充的信息量越大,而在知道这个值之前你已有的信息量越小)。
熵权法的计算步骤
- 判断矩阵中是否存在负数,如果有则要重新标准化到非负区间(后续步骤计算概率时要保证每一个元素为非负数):
假设有 n 个要评价的对象,m 个评价指标(已经经过正向化),构成正向化矩阵 X,则其标准化的矩阵Z中每一个元素满足:
如果矩阵 Z 中存在负数,则要对 X 使用另一种标准化方法:
计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的权重,并将其看作相对熵计算中用到的概率:
对于上一步得到的非负标准化矩阵,计算其概率矩阵P,且P中每一个元素的计算公式如下:
计算每一个指标的信息熵,并计算信息效用值,并归一化得到的每个指标的熵权
对于第 j 个指标而言,其信息熵的计算公式为:
信息效用值的定义:
将信息效用值进行归一化,就能得到每个指标的熵权:
考虑权重的TOPSIS法
上述介绍的TOPSIS法未考虑各指标的权重,当使用熵权法计算出各指标的权重时,仅需要重新计算各评价对象的D+与D-即可,其它步骤与上述未考虑权重的步骤相同。
定义第 i 个评价对象与最大值的距离:
定义第 i 个评价对象与最小值的距离:
由于最近比较忙的原因,所以本文可能存在不完善的地方,后续会继续完善文章。
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