几种常见的算法求最大公约数（C语言）

1.辗转相除法
其算法过程为：前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数
1、大数放a中、小数放b中；
2、求a/b的余数；
3、若temp=0则b为最大公约数；
4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
5、返回第二步；

函数嵌套调用算法源程序：

int divisor (int a,int b)    /*自定义函数求两数的最大公约数*/
{int  temp;          /*定义整型变量*/if(a<b)             /*通过比较求出两个数中的最大值和最小值*/{temp=a;a=b;b=temp;} /*设置中间变量进行两数交换*/while(b!=0)           /*通过循环求两数的余数，直到余数为0*/{temp=a%b;a=b;              /*变量数值交换*/b=temp;}return(a);            /*返回最大公约数到调用函数处*/
}#include "stdio.h"    /*输入输出类头文件*/
#include<time.h>
int main()
{int a[40],b[40];int t1,Y=0,begintime,endtime;         /*定义整型变量*/for(Y=0;Y<40;Y++){printf("please input two integer number:");                      /*提示输入两个整数*/scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);                                    /*通过终端输入两个数*/}begintime=clock();for(Y=0;Y<40;Y++){t1=divisor(a[Y],b[Y]);                    /*自定义主调函数*/printf("The higest common divisor is %d\n",t1);                     /*输出最大公约数*/}endtime=clock();printf("\n\nRunnimg Time:%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

函数递归调用算法源程序：

int gcd (int a,int b)
{ if(a%b==0)return b;
elsereturn gcd(b,a%b);}
#include "stdio.h"
#include<time.h>
main()
{int a[40],b[40],t1,Y,begintime,endtime;for(Y=0;Y<40;Y++){printf("please input two integer number:");scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);}begintime=clock();for(Y=0;Y<40;Y++){t1=gcd(a[Y],b[Y]);printf("The highest common divisor is %d\n",t1);          /*最大公约数*/}endtime=clock();printf("\n\nRunning Time is：%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

3.穷举法
穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。
对两个正整数a,b如果能在区间[a,0]或[b,0]内能找到一个整数temp能同时被a和b所整除，则temp即为最大公约数。

穷举法源程序：

int divisor (int a,int b) /*自定义函数求两数的最大公约数*/
{int  temp;          /*定义义整型变量*/temp=(a>b)?b:a;    /*采种条件运算表达式求出两个数中的最小值*/while(temp>0)     {if (a%temp==0&&b%temp==0) /*只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环*/break;    temp--;      /*如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除*/}return (temp); /*返回满足条件的数到主调函数处*/
}
#include "stdio.h"
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
int main()
{int a[40],b[40],Y;int t1;int begintime,endtime;for(Y=0;Y<40;Y++){printf("please input two integer number:");scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);}begintime=clock();for(Y=0;Y<40;Y++){t1=divisor(a[Y],b[Y]);printf("The higest common divisor is %d\n",t1);}endtime=clock();printf("\n\nRunning Time:%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

4.更相减损法
更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

更相减损法源程序：

#include "stdio.h"    /*输入输出类头文件*/
#include<time.h>
#include<math.h>
int gcd(int m,int n)
{int i=0,temp,x;while(m%2==0 && n%2==0)  //判断m和n能被多少个2整除{m/=2;n/=2;i+=1;}if(m<n)     //m保存大的值{temp=m;m=n;n=temp;}x=m-n;while(x){    if(n==(m-n))break;x=m-n;m=(n>x)?n:x;n=(n<x)?n:x;}if(i==0)return n;else return (int )pow(2,i)*n;
}int main()
{int a[40],b[40];int t1,Y=0,begintime,endtime;         /*定义整型变量*/for(Y=0;Y<1;Y++){printf("please input two integer number:");                       /*提示输入两个整数*/scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);                                    /*通过终端输入两个数*/}begintime=clock();for(Y=0;Y<1;Y++){t1=gcd(a[Y],b[Y]);                    /*自定义主调函数*/printf("The higest common divisor is %d\n",t1);                      /*输出最大公约数*/}endtime=clock();printf("\n\nRunnimg Time:%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

5.stein算法
Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。来研究一下最大公约数的性质，发现有 gcd( kx,ky ) = kgcd( x,y ) 这么一个非常好的性质。试取 k=2，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况如何化小呢？
先来看看一奇一偶的情况：设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=na，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。
再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，不妨设x>y，注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 gcd( x+y,x-y ) = 2 * gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 gcd( x,y ) 与 gcd( x+y,x-y ) 以及 gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = gcd( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 gcd( m,n )<= gcd(x,y)。再设 b = gcd( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 gcd( x,y ) <= gcd( m,n )。所以 gcd( x,y ) = gcd( m,n ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )。
整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶 gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；
3.x偶y奇 gcd( x,y ) = gcd( x/2,y ) 或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；
现在已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 gcd( x,x ) = x ，就用这个。

函数非递归调用算法源程序：

int Stein( unsigned int x, unsigned int y )
/* return the greatest common divisor of x and y */
{int factor = 0;int temp;if ( x < y ){temp = x;x = y;y = temp;}if ( 0 == y ){return 0;}while ( x != y ){if ( x & 0x1 )//判断x是否为奇数{                                         /* when x is odd */if ( y & 0x1 )//判断y是否为奇数{                                    /* when x and y are both odd */y = ( x - y ) >> 1;//相当于(x-y)/2x -= y;}else//x是奇数y是偶数{                               /* when x is odd and y is even */y >>= 1;}}else{                                     /* when x is even */if ( y & 0x1 )//x是偶数y是奇数{                               /* when x is even and y is odd */x >>= 1;//相当于x=x>>1;或者x=x/2;if ( x < y ){temp = x;x = y;y = temp;}}else//x,y均是偶数{/* when x and y are both even */x >>= 1;y >>= 1;++factor;}}}return ( x << factor );
}
#include "stdio.h"    /*输入输出类头文件*/
#include<time.h>
int main()
{int a[40],b[40];int t1,Y=0,begintime,endtime;         /*定义整型变量*/for(Y=0;Y<40;Y++){printf("please input two integer number:");                      /*提示输入两个整数*/scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);                                    /*通过终端输入两个数*/}begintime=clock();for(Y=0;Y<40;Y++){t1=Stein(a[Y],b[Y]);                    /*自定义主调函数*/printf("The higest common divisor is %d\n",t1);                   /*输出最大公约数*/}endtime=clock();printf("\n\nRunnimg Time:%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

函数递归调用算法源程序：

int gcd(int u,int v)
{if (u == 0) return v;if (v == 0) return u;// look for factors of 2if (~u & 1) // u is even{if (v & 1) // v is oddreturn gcd(u >> 1, v);else // both u and v are evenreturn gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;}if (~v & 1) // u is odd, v is evenreturn gcd(u, v >> 1);// reduce larger argumentif (u > v)return gcd((u - v) >> 1, v);return gcd((v - u) >> 1, u);
}
#include "stdio.h"    /*输入输出类头文件*/
#include<time.h>
int main()
{int a[40],b[40];int t1,Y=0,begintime,endtime;         /*定义整型变量*/for(Y=0;Y<40;Y++){printf("please input two integer number:");                      /*提示输入两个整数*/scanf("%d%d",&a[Y],&b[Y]);                                    /*通过终端输入两个数*/}begintime=clock();for(Y=0;Y<40;Y++){t1=gcd(a[Y],b[Y]);                    /*自定义主调函数*/printf("The higest common divisor is %d\n",t1);                     /*输出最大公约数*/}endtime=clock();printf("\n\nRunnimg Time:%dus\n",1000*(endtime-begintime));
}

总结：程序中没有读写文件的功能，当需要计算大量的数据时，需要人为输入，较为繁琐，需要计算多少组数据时，需要将代码中的for循环修改即可。这几个程序均可以计算数据的最大公约数，还有计算程序运行时间的功能，并且输出运行时间，其中辗转相除法最为快捷，穷举法最为缓慢。需要特别注意的是stein算法中涉及到了一些不常见的运算符，大家在用的时候，希望能明白这些运算符的意义，并学以致用。虽然有些许的问题，但是我会逐步改进的，加油。

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